Questions sur la distance.
Réponses
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Qu'appelles-tu "éléments semblables" ?
Sur tout ensemble, il existe au moins une distance (d'ailleurs au moins beaucoup, mais celles qui sont "naturelles" sont équivalentes entre elles)
A priori l'intersection de deux éléments n'a aucun rapport avec leur distance -
Avant de faire sérieusement des maths, il faut apprendre à faire abstraction de la "nature" des éléments des ensembles que l'on manipule (chose qui n'a d'ailleurs pas besoin d'être définie).
Soit $E = \{mouton, 37, x \mapsto x^2, \pi\}$. Je peux toujours définir la distance triviale sur cet ensemble (pour tous $x \neq y \in E, d(x,y)=1$ et $d(x,x)=0$). -
Exercice:
Montrer que cela reste vrai:
1) si l'on renomme $E$ en $F$,
2) si l'on remplace $mouton$ par $brebis$,
3) si l'on remplace $x \mapsto x^2$ par $y \mapsto y^2$.
[Plus difficile] Qu'en est-il si à la place de $E$ on considère un troupeau de moutons? -
On peut aussi procéder comme suit: on considère un mouton dans son pré carré. L'un des côtés du pré est délimité par une rivière. On prend les nombres $\pi$ et $37$, et on les fait jouer à la balle dans le pré du mouton. À un moment donné, ils vont se faire une passe de la forme $x \mapsto x^2$. À ce moment donné (ni avant ni après), on identifie le pré à l'espace euclidien usuel, et on considère la distance usuelle entre les points correpsondant. La seule difficulté consiste à ne pas louper l'instant précis où il faut effectuer l'identification.
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Shah d'Ock
J'ai lu attentivement tes deux posts. Je dois t'avouer que je ne sais pas du tout résoudre ton exercice (remplacer $E$ par $F$ ..etc..). Trop difficile pour moi.
Quant à ton second post : est ce que tu réponds vraiment à la question initiale, qui était, j'ose me permettre de te le rappeler, ``quelle est la distance entre deux moutons qui sont en intersection non vide ?'' Je me permets (encore !) d'en ajouter une autre au panier ``quelle est la distance entre deux moutons quand l'un est contenu dans l'autre ?'' -
Bonjour Claude,
Oui, j'ai bien vu que mon deuxième post répondait à une question légèrement moins générale que le problème original. Toutefois, j'ai cru bon d'indiquer quand même cette méthode, car c'est un outil fondamental de la topologie ovine et de l'algèbre bovine développées par Marcel Berger, qui a eu récemment des applications profondes en théorie analytique des systèmes domestiques. Pour plus de références, le lecteur intéressé pourra se repporter à Le génie des Alpages, F. Murr, 1973. -
Bonjour.
Merci de vos réponses.
En fait ce qui a motivé ma question est que j'avais parlé de la distance entre un point et une droite du plan, puis de la distance entre deux droites parallèles à des élèves. Un élève a demandé: pourquoi on ne pouvait pas parler de la distance entre deux droites non parallèles. Et pour lui, ''naturellement'' la distance entre deux droites sécantes est nulle et que si deux ensembles avait ne serait-ce qu'un élément commun (un point d'intersection) leur distance est nulle.
Ben, j'ai eu du mal à lui expliquer d'une manière élémentaire et je me suis posé des questions sur le programme concernant cette notion.
D'où mes DEUX questions. -
Bonjour Babsgueye.
Ton élève a tout à fait raison. Dans un espace métrique, la distance entre deux parties A et B est, si elle existe (*) $\inf \{d(x,y / x\in A,\, y\in B\}$. Donc dans le plan, pour deux parties ayant un point commun, la distance est nulle.
Tu peux le faire réfléchir à la distance entre un point et un cercle, entre deux cercles, et aussi au cas de deux droites dans l'espace (des non parallèles peuvent avoir une distance non nulle).
Cordialement.
(*) je prends cette précaution, je suis en "pause alcaline postprandiale", donc mes cellules grises manquent de sucre. -
Je ne comprends pas bien ta remarque gerard, cette borne inférieure existe toujours (partie non vide minorée de $\mathbb R$).
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Je disais bien que j'étais vaseux :-).
Enfin, la partie est non vide si A et B le sont. Donc j'avais un peu raison de me méfier.
Cordialement. -
Oui mais la distance au vide, c'est rare qu'on se demande ce que ça vaut :-D
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Bonjour,
N'a-t-on pas : \(d(A,\emptyset) = +\infty\) ? -
Effectivement.
Bizarrement, j'avais eu cette idée lors de mon premier message, pas lors du deuxième :-)
Cordialement. -
Il faut simplement remarquer que la distance entre deux parties n'est plus... une distance au sens des espaces métriques (ce n'est pas parce que $d(A,B)=0$ que $A=B$).
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Il y a tout de même des cadres où on récupère bien une distance, notamment si on se restreint à regarder la distance entre deux compacts dans $\mathbb R^n$ (distance de Hausdorff).
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Heu... Si je prends le carré $[0,1]^2$, le cercle unité fermé, la distance telle que définie plus haut est zéro mais pourtant si c'est rond c'est point carré. La distance de Hausdorff c'est autre chose.
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Salut.
J'avais posté ce matin un questionnaire sur la notion de distance, et je vois plus dans le FORUM. Je sais comment cela se fait-il, parce qu'on est bien sur la rubrique ''fondements et.... ! Je reviens quand même parce que après avoir cherché ailleurs j'ai vu la définition d'espaces pseudométriques, qui à la différence des espaces métriques (plus étudiés où on parle de ''distance''), on y parle d'écart.
Je pensais mes inquiétudes estompées, mais, par après, il y a l'inégalité triangulaire ( 3ieme propriété dans la définition d'une pseudométrique dans un ensemble) qui vient encore me gêner.
Existe-t-il dans la littérature, des ''espaces.....'' où, il y a que les deux premières propriétés qui sont à respecter; à savoir:
1 . $d(x , x) = 0$
2 . $d(x , y) = d(y , x)$
Peut-être devrais le poster sur sham, mais...qui sait ! -
Bien sûr, tu peux en créer tout plein ! $d:X\times X \to \mathbb{R}$ constante égale à $0$ convient pour tout $X$. Mais aussi n'importe quelle "vraie distance", n'importe quelle pseudométrique, mais encore tout plein d'autres
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Avec une pseudométrique, l'inégalité triangulaire doit être respectée. Comme je vois c'est plus la ''vraie distance'' (écart !). Je pense à deux points distincts d'une droite, en estimant ''naturellement'' que leur distance est non nulle et que la distance à la droite est nulle pour chaque point (l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée).
Est-ce qu'il y a un ''nom particulier'' pour ces espaces @Maxtimax ? -
Mais une pseudométrique respecte en particulier les deux lois que tu mentionnes ! Elle en respecte une autre, à savoir l'inégalité triangulaire, mais peu importe
Non, pas que je sache. Je doute qu'ils aient beaucoup d'intérêt pour être honnête -
Bonjour,
Dans un espace euclidien, deux droites sont parallèles si et seulement si la distance d'une droite à l'ensemble des points de l'autre est toujours la même :
$\exists r\ge 0$ tel que $\forall P \in D_1, d(P,D_2) (= \min_{Q\in D_2}(P,Q)) = r$
Peut-être était-ce cette propriété ou une similaire que tu voulais exhiber à tes élèves? D'où ta réticence à admettre, dans un premier temps, une distance définie entre $D_1$ et $D_2$?
EDIT : C'est une définition de droites parallèles qui a été choisie par Alexis Claude Clairaut (1713-1765) dans un ouvrage auquel je vais m'empresser de m'intéresser.
En généralisant cette définition à d'autres couples de courbes, par contre, on n'obtient pas quelque chose de très "naturelle" : deux cercles concentriques seraient "parallèles" mais les deux courbes $(x,\sin(x))$ et $(x,\sin(x)+1)$ ne le seraient pas (alors que, d'après ce que j'ai constaté, on n'aurait aucun mal à les qualifier de "parallèles" dans le langage courant).
Je me demande quelle serait une façon satisfaisante de généraliser la notion de parallélisme pour qu'elle colle à peu près à son sens du langage courant... disons dans le cadre de la programmation d'un algorithme de reconnaissance des motifs. -
Salut.
@Le Lui ou un Autre, j'ai pensé aux espaces euclidiens, mais le problème c'est comment définir ''la distance entre droites SÉCANTES'' par
exemple, (ou plus généralement entre ensembles d'intersection non vide) en adéquation avec votre définition de ''distance entre droites parallèles''
et respecter les TROIS PROPRIÉTÉS d'une métrique, ou d'une pseudo-métrique, ou bien même d'une ultramétrique.
Même en voulant utiliser les centres de gravité des ensembles, j'y suis pas arrivé ! -
Finalement, je pense m'en sortir avec la définition suivante:
$d(A,
= \inf\{d(x, y)\mid x\in G(A), y\in G(B)\}$ où $G(A)$ et $G(B)$ sont respectivement les centres de gravité des ensembles $A$ et $B$.
Avec $d(A, = +\infty$ ssi: ($A\cap{B}\neq\emptyset\qquad\mbox{et}\qquad G(A)\cap{G(B)}\neq\emptyset$).
Du coup contrairement à la convention de @gb, je choisis, $d(A; \emptyset) = 0$ pour tout $A$.
Est ce bien une distance ? -
Si $G(A)$ est le centre de gravité de $A$ (quoi que ça puisse bien vouloir dire), que veut dire $x \in G(A)$ ?
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Je pense par exemple que tout point d'une droite est centre de gravité de cette droite.
On a par cette définition une distance pseudo-métrique non ! -
Sinon, on compactifie tout, et on prend la distance de Hausdorff. Sauf erreur, ça fournit une distance sur l'ensemble des fermés non vides du plan.
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Salut.
Toujours pour me débarrasser de mes petits soucis, j'ai changé ma définition, pour avoir une métrique et non seulement une pseudo-métrique.
$A$ et $B$ deux sous-ensembles.
$\delta(A, = inf\{d(x, y)\mid x\in G(A), y\in G(B)\}\qquad$ si $\qquad$$G(A)\cap{G(B)}=\emptyset$
$\delta(A, = max\{d(x, y)\mid x\in A, y\in B\}\qquad$ si $\qquad$$G(A)\cap{G(B)} \neq \emptyset$
Merci de vérifier. que c'est bien une distance entre deux ensembles. -
Déjà, $\delta(A,A) \neq 0$ pour tout les ensembles $A$ non réduits à un point.
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C'est vrai ! Merci.
Je rectifie comme cela:
$A$ et $B$ deux sous-ensembles:
$\delta (A,:=\begin {cases}inf\{d(x, y)\mid x\in{G(A)}, y\in{G(B)}\},&\textrm{si}\qquad G(A)\cap{G(B)}=\emptyset\qquad\textrm{ou}\qquad A = B ; \\sup\{d(x, y)\mid x\in{A}, y\in{B}\},&\textrm{sinon}\end{cases}$ -
Pour le confort de la lectrice, il convient de rappeler que $G(A)$ désigne le centre de gravité de $A$.
De mon côté, je n'ai pas pris le temps de vérifier les axiomes d'une distance. Disons que par principe, je fais confiance (sinon, où va-t-on ?). Et j'étais surtout pressé de pouvoir l'appliquer à l'espace des moutons que Shah d'Ock a évoqué dans http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1596758,1596848#msg-1596848 : muni de cette nouvelle distance, cet espace est-il connexe, voire connexe par arcs ?
Mais dans ce domaine, la précipitation, ce n'est jamais bon. Car je n'avais pas réfléchi à l'épineuse question : pour déterminer le centre de gravité d'un mouton, faut-il tenir compte de la laine ? Ne sachant pas répondre à cette question, je n'ai pu aller plus loin concernant la connexité.
@Shah d'Ock. J'ai beaucoup apprécié ton petit post pertinent relatif à la géométrie de l'espace des moutons. Surtout que tu cites tes sources, ce qui n'est pas toujours le cas d'autres forumeurs (il y aurait beaucoup à dire, mais c'est une autre histoire). Cependant, j'ai une petite remarque à faire et j'espère que le spécialiste que tu es n'en prendra pas ombrage. Loin de moi l'intention de dénigrer ce que tu as écrit. Il s'agit de date et d'antériorité : certes, la date 1973 que tu cites et la référence ``Le génie des alpages'' de F. Murr sont incontournables. Mais est ce qu'il ne conviendrait pas revenir des années en arrière ?
J'y viens. La phrase célèbre ``Dessine moi un mouton'' (Saint Exupery, Le Petit Prince) n'est-elle pas annonciatrice de la topologie ovine ? Il me semble que oui. Et ton post contiendrait alors une légère inexactitude. Si j'ai tort, je suis prêt à faire des excuses publiques sur le forum.
Bien à toi.
PS : c'est avec grand plaisir que j'ai vu ton nom parmi les conférenciers du prochain congrès ``De l'importance des brebis en Topologie Algébrique'' qui aura lieu au printemps sur la Grande Draille des Pyrénées. La mention ``titre non communiqué'' ne m'a pas choqué et j'ai bien compris que tu ne souhaitais pas divulguer tes derniers travaux. La surprise n'en sera que plus grande. -
Tu as tout à fait raison, d'un point de vue historique, de souligner l'ouvrage de A. Saint-Exupéry. Il préfigure en effet la topologie ovine, mais comme les travaux d'Euler préfigurent la topologie algébrique (d'ailleurs, si la référence à Saint-Ex n'est pas explicite dans GDA I, elle le deviendra dans les volumes suivants).
Pour donner un aperçu qui se veut apétissant des travaux que j'exposerai, disons simplement que j'ai découvert une application à ma connaissance inédite du flot de Ricci au défrisage de la laine de mouton considérée comme une variété fractale. -
Claude Quitté et Shah d'Ock,
quand on parle d'antériorité, il ne faut jamais négliger les "anciens" qui, paraît-il, avaient tout découvert. Et déjà, le théorème de Panurge montre que la distance entre deux moutons est bornée, mais bien avant lui Homère avait traité de la distance homme-mouton (Ulysse et ses matelots accrochés sous les moutons du cyclope). Faute de textes, je n'ai pas pu remonter plus loin dans le temps, et même l'attribution à Homère de l'invention de la distance Homme-mouton est sujette à caution.
Cordialement. -
babsgueye a écrit:Vraiment j'aimerais bien en savoir plus de ce livre, outil fondamental de la topologie ovine
"Le petit Prince", Antoine de Saint-Exupéry, dont je recommande vivement la lecture. -
J'en profite pour faire un coup de pub pour mon livre Tenseurs et tonseurs: applications de la géométrie différentielle à la tonte des moutons au printemps, à paraître prochainement chez Caravage et Monteverdi.
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Shah d'Ock
Quel cachotier tu fais. Mais rassure moi, ton oeuvre, je parle de GDA II, III, IV ...etc.. tu ne laisses pas pour autant tomber, n'est ce pas? Je me doute que c'est beaucoup, beaucoup de travail. Mais pense aux nombreux lecteurs de GDA I qui attendent ; quelle déception cela serait. Nous comptons sur toi. -
Claude,
Je crois que tu as été abusée par une homonymie. Je ne suis bien entendu pas l'auteur de la somme considérable que représente les GDA! C'est une confusion qui arrive d'autant plus souvent que nous travaillons dans des domaines très proche. À ce sujet, il y a eu une situation désopilante au 15ème congrès de l'Association de Géométrie Bêlante, où nous étions tous deux invités. C'est d''ailleurs suite au quiproquo qui s'en est suivi que GDA III a été surnommé "Barre-toi de mon herbe". Je suis parfois tenté de ne rien dire afin de bénéficier du prestige lié à ce nom, mais l'honnêteté intellectuelle me force à n'en rien faire. -
Disponible aux éditions du compte-mouton.
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@Shah d'Ock
Comme tu le sais, en 2017, une manifestation de la SanMiguelada (Transhumance aux Bardenas) a eu lieu le 17-09, cf
http://www.turismo.navarra.es/fre/organice-viaje/recurso/Ocioycultura/4750/La-Sanmiguelada-y-la-Trashumancia-en-Bardenas.htm
Mais pour 2018, personne ne m'a prévenu, ce qui m'agace un tantinet. Mais toi, vu tes positions, je suppose que tu es au courant. En temps utile, pourras tu me communiquer la date ? Merci. -
Volontiers, mais je suis toujours le dernier informé. Tu sais comment c'est l'administration: il suffit que tu laisses le choix dans la date à une secrétaire, et elle n'en a plus qu'après les rites de bureaux.
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@babsgueye : A mon avis, il est important de remarquer que $d(A,B) := \inf\{d(x,y) \ \vert \ x \in A, \ y \in B\}$ n'est pas une distance au sens que ce mot a dans la théorie des espaces métriques (à savoir ne vérifie pas une des trois conditions requises pour être une distance). Mais selon ce point de vue, la "distance" entre deux droites sécantes est bien $0$ !
@Shah, Claude : Un autre développement des idées esquissées dans le Petit Prince est donné par les dessins d'enfant de Grothendieck. Je vous renvoie notamment au théorème de Belyi-é ! Il ne faut évidemment pas mélanger ça au concept d'éléments moutons.
Shah, ta théorie permet-elle de calculer le tonseur de courbure de cet ovifold ? -
@Georges
Bienvenue au club.
Ce fil commence à faire un peu désordre, non ? Je veux dire par là qu'une une vache n'y retrouverait pas son veau ou au choix, une chatte n’y retrouverait pas ses petits. Bon, on s'éloigne du sujet. -
Georges, pour ta dernière question, en théorie il suffit de tout fromagiser puis de passer en équivalent pullovers en faisant intervenir les nombres de Bêle.
Je dis "en théorie" parce que les calculs bien que pédestres sentent le bouc (il s'agit de défriser chaque fibre de la laine de mouton. Or l'examen attentif de ton image montre l'existence de nombreuses discontinuités dans la toison, ce qui empêche de traiter toutes ces fibres de manière uniforme). Il devrait exister un point de vue plus stratosphérique sur tout ça, mais cela impliquerait de développer une théorie des moutons volants, et on sait depuis GDA II ("Comme des bêtes"), que le cadre actuel s'y prête mal. -
Pourtant ! Pas de poils sur le mouton (mouton diesel) ni sur le bélier (Bélier hydraulique). Mais exactement comme dans le début de ce fil, les mots ont souvent plusieurs significations, même en maths.
Cordialement. -
Bonjour
je ne sais pas si ma manière de faire te servirai
dans mon approche pour comprendre la notion de distance
j'ai voulu voir(donc chercher et trouver)comment ça marche dans le plan affine euclidien
en s'interdisant de recourir aux formules apprises par coeur
et qui deviennent des incantations
par exemple
ABC un repère barycentrique du plan affine euclidien
$A=(1:0:0) $
$B=(0:1:0)$
$C=(0:0:1)$
$P=(i_P:j_P:k_P)$
$Q=(i_Q:j_Q:k_Q)$
Alors
en prenant le triangle $ABC$ et en notant
$a=BC$ , $b=AC$ , $c=AB$
$\alpha$ l'angle issu de $A$ du triangle $ABC$
$\beta$ l'angle issu de $B$ du triangle $ABC$
$\gamma$ l'angle issu de $C$ du triangle $ABC$
on peut écrire
$PQ=\sqrt {\left( b\delta+c\left( j_Q-j_P\right) \right)^2+2bc\delta\left( j_Q-j_P \right)\left( cos(\alpha)-1\right)}$
avec $\delta=i_P-i_Q+j_P-j_Q$
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Bonjour!
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