les distances d'un espace métrique

naforito · January 2018

Bonjour,

Dans un exercice comme Hypothèse on a :

(E,d) est un espace métrique compact , f:E->E une application continue et d(f(x),f(y))=d(x,y) pour tout x,y de E
soit x0 appartient à E mais x0 n'appartient pas à f(E) et soit b=inf(d(x0,Z)) tel que Z appartient à f(E)

la réponse de notre prof est on a b>0 car sinon on peut construire une suite de points (Zn)n dans f(E) convergente vers b

Je voudrai savoir seulement pourquoi la suite de points (Zn)n qu'on a construit dans f(E) convergente vers b (et non vers x0) car dans la négation de b>0 et b=0 alors on a inf(d(x0,Z))=0 d'oû il existe une suite Zn qui converge vers x0 , non ?

Poirot · January 2018

Je pense que c'est une erreur d'inattention de ton prof, qui voulait bien parler d'une suite de $f(E)$ convergeant vers $x_0$, qui est bien un élément de $E$, et non pas vers $b$, qui est un réel et donc n'a rien à voir avec les éléments de $E$ en général.

Bon et il faut tout de même un argument en plus pour dire que $b > 0$, c'est parce que $f(E)$ est compact également avec tes hypothèses.

GaBuZoMeu · January 2018

Tu as dû mal comprendre ce qu'a dit ton prof. Il n'a sûrement pas dit que si $b=0$ on peut construire une suite de points de $E$ convergeant vers $b=0$ !!!

Puisque $E$ est compact et $f:E\to E$ continue, $f(E)$ est compact. Si $b=\inf\{d(x_0,f(y))\mid y\in E\}$, alors on a une suite $(y_n)_{n\in \N}$ d'éléments de $E$ tels que $b=\lim_{n\to \infty} d(x_0,y_n)$. Puisque $E$ est compact, on peut en extraire une sous-suite $(u_n)_{n\in \N}$ qui converge vers un élément $u$ de $E$.
Je te laisse conclure que $d(x_0,f(u))=b$ (et donc $b$ ne peut pas être nul si $x_0\not\in f(E)$).

Chaurien · January 2018

D'une façon générale, si $E$ est un espace métrique, si $x\in E$ et $A\subset E$, on a : $d(x,A)=0\Leftrightarrow x\in \overline{A}$.
Ici $E$ est compact et $f$ continue, donc $f(E)$ est compact, donc fermé, etc..

naforito · January 2018

Merci de votre aide mais j'ai pas bien compris pourquoi "on a b>0 car sinon on peut construire une suite de points (Zn)n dans f(E) convergente vers b"

gb · January 2018

Bonjour,

Si :
\[\inf\lbrace d(x_0,z) \mathrel{;} z \in f(E) \rbrace = 0,\]
il existe une suite $(z_n)_{n\in\mathbf{N}^*}$ à valeurs dans $f(E)$ telle que :
\[\forall n\in\mathbf{N}^* \quad d(x_0,z_n) < \frac{1}{n},\]
c.-à-d. : $x_0\in\overline{f(E)}$.

Mais $E$ est compact et $f$ continue, donc $f(E)$ est compact, et par suite fermé : $x_0\in\overline{f(E)}=f(E)$.

naforito · January 2018

une grosse merci monsieur gb

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