Norme de Frobenius

TaliZorah
TaliZorah
dans Topologie
Bonjour à tous !

J'était en train de faire un petit exercice (issu de mon TD de topologie (sur R^n)), afin d'introduire les notions de normes et s'exercer à démontrer que certaines applications pouvaient être des normes (ou non). Donc comme le dit le titre ici le sujet c'est la norme matricielle de Frobenius, la norme (on l'appellera N) définie sur Mn(R) vers R (évidement), qui pour tout A dans Mn(R) associe : (Tr(A.A^T))^1/2 (ou A^T désigne la matrice transposée de A).

Bon jusqu'ici tout va bien l'exercice comporte 4 questions assez simple. Seulement je ne suis pas sûr de moi lorsqu'il s'agit de vérifier que l'application est bien une norme (en particulier la vérification de l'inégalité triangulaire) :

Voici donc mon raisonnement au sujet de la vérification de l'inégalité triangulaire (je post des gif issu d'une édition Latex de ma part). Je passe sur toute l'introduction (pour tout A,B dans Mn(R)...) mon idée était d'écrire N(A+B) et N(A)+N(B), d'élever les termes au carré puis de comparé les carrés (voir que (N(A)+N(B))^2 > (N(A+B))^2) puis ensuite de passer à la racine pour démontrer l'inégalité. Seulement pour démontrer l'inégalité des carrés je suis parti de cette justification précise et c'est justement sur celle-ci que je ma certitude n'est pas entière :72480
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Réponses

  • TaliZorah
    TaliZorah
    Je vous remercie bien sûr d'avance pour toute réponse ou correction.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Ta première égalité est très douteuse; et ta dernière inégalité ne permet pas de conclure.
    Que penses-tu des produits scalaires ?
  • TaliZorah
    TaliZorah
    Oui j'y ai penser au produit scalaire seulement à la question suivante on nous demande de montrer que cette norme dérive d'un produit scalaire (ce qui se fait sans soucis avec l'identité du parallélogramme). J'en ai donc conclu que l'exercice ne voulait pas qu'on utilise le produit scalaire pour démontrer que N était bien une norme.

    edit: et oui ma première égalité me semble très douteuse c'est pour ça que je l'expose ici pour vérification/correction
  • TaliZorah
    TaliZorah
    Sinon je ne vois pas en quoi la dernière inégalité ne permet pas de conclure puisque c'est le seul terme plus grand que l'autre dans les expression de (N(A)+N(B))^2 et N(A+B)^2
  • Chaurien
    Chaurien
    Pour appuyer Maxtimax, disons que le fait important avec cette norme, c'est qu'elle dérive du produit scalaire $(A\mid B)=Tr(A^{\mathbf{T}}B)$, qui est le produit scalaire canonique sur $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$, canonique car c'est le produit scalaire pour qui la base canonique est orthonormale.
    Une fois ceci établi, l'inégalité triangulaire se prouve comme dans tout espace euclidien.
    Cet espace euclidien $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ présente la particularité d'être muni d'un produit interne, le produit matriciel, et l'on a l'inégalité intéressante : $\left\Vert AB\right\Vert \leq \left\Vert A\right\Vert \left\Vert
    B\right\Vert $.
    Bonne journée.
    Fr. Ch.
  • TaliZorah
    TaliZorah
    Je rappel les expressions :

    $N(A+B)= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(a_{ij}+b_{ij})^2}$

    $N(A)+N(B)= \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(a_{ij})^2}+\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}(b_{ij})^2}$

    en élevant au carré on remarque que 2 termes seulement sont différents dans les deux expressions à savoir (d'ou la tentative montrée au premier message qui concerne justement ces deux termes).
  • TaliZorah
    TaliZorah
    Bien je vois, je pense que je vais faire les questions dans le désordre et d'abord dire que cette norme dérive d'un produit scalaire pour ensuite démontrer l'inégalité triangulaire (mais ça me parait louche d'utiliser un résultat lié aux normes pour démontrer qu'une application est une norme, a moins qu'une semi-norme (qui ne vérifie pas l'inégalité triangulaire) peut dériver d'un produit scalaire ??)

    Merci beaucoup pour vos réponses !
  • Chaurien
    Chaurien
    @ TaliZorah
    Ta première égalité n'est pas douteuse, elle est fausse en toute généralité. Faire des maths ce n'est pas aligner au hasard des égalités sympathiques à première vue, et au correcteur de choisir si c'est bon. Chacun de nous a parfois envie d'écrire une telle chose, et c'est à lui de voir si elle est correcte. Pour en juger fais un modèle réduit : $(a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2) =(a_1 b_1+a_2 b_2)^2$, visiblement faux en général.
  • Chaurien
    Chaurien
    Une semi-norme ne se distingue pas d'une norme en ce qu'elle ne vérifierait pas l'inégalité triangulaire.
    https://fr.wikipedia.org/wiki/Semi-norme
  • Chaurien
    Chaurien
    @ TaliZorah
    Tu devrais donner l'énoncé intégral de ton exercice, on y verrait plus clair.
  • TaliZorah
    TaliZorah
    Oui oui je me suis trompé sur la semi norme et j'aurai du vérifier mon égalité avec un contre exemple j'admet... Cependant voici tout de même l'énoncé complet de l'exercice :

    1): Montrer que pour toutes matrices A et B dans E on à Tr(AB) = Tr(BA)

    2): Montrer qu'on peut écrire $N(A) = (\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} (a_{ij})^2)^{1/2}$, montrer ensuite que N est une norme sur E

    3): Montrer qu'elle est issue d'un produit scalaire, c'est à dire qu'il existe $\phi$, produit scalaire sur E x E tel que $\sqrt{\phi(A,A)} = N(A)$ pour tout A dans E

    4): Montrer que N(AB) <= N(A)N(B).

    N est ce qu'on appelle une norme sous multiplicative. trouver une norme sur E qui ne vérifie pas cette propriété.
  • Chalk
    Chalk
    C'est vrai que c'est bizarre de demander de montrer que c'est une norme et seulement ensuite de voir qu'elle est issue d'un produit scalaire. La manière la plus directe de voir que c'est une norme c'est justement de voir qu'elle est induite par un produit scalaire.

    Maintenant tu peux toujours "gruger" (je dis gruger, mais y'a pas d'arnaque dans le raisonnement lui-même). Tu définis le vecteur $a$ comme la concaténation des colonnes de $A$ (ça définit un isomorphisme d'espaces vectoriels donc aucun soucis pour la suite). Alors $N(A) = \Vert a\Vert_2$ dans $\R^{n^2}$, et ça tu sais que c'est une norme. Puis pour la question d'après, tu dis simplement que $\phi(A,B) = Tr(A^T B)$, qui est bien un produit scalaire sur l'espace des matrices.

    Après ça m'est déjà aussi arrivé (rarement) de répondre aux deux questions en même temps, puis à la question suivante de dire qu'on a déjà résolu ce point à la question précédente. Tant que ça se mord pas la queue c'est pas interdit même si ce n'est pas ce qu'avait le correcteur en tête.
  • Chaurien
    Chaurien
    Je présume que $E$ c'est $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$.
    Dans la question 2, on peut remplacer la suite double qu'est une matrice par une suite tout court, il s'agit de prouver que $ N(X) = (\sum_{i=1}^{n} (x_{i})^2)^{1/2}$, avec $X=(x_1,x_2,...,x_n)$, est une norme sur $\mathbb R^n$, et l'inégalité triangulaire est la seule condition non triviale à démontrer.
    Je ne vois pas plus simple que de déduire l'inégalité triangulaire de l'inégalité de Cauchy-Schwarz, comme il est bien connu : $ (\sum_{i=1}^{n} x_{i} y_i)^2 \le \sum_{i=1}^{n} x_{i}^2 \sum_{i=1}^{n} y_{i}^2$. Cette dernière inégalité peut se prouver de plusieurs façons. Mais bon, le mieux c'est de démontrer d'abord qu'on a un produit scalaire et le reste suit.
    On va encore dire que je suis grincheux mais je considère que c'est encore un énoncé mal foutu fichu.
    Bon courage.
    Fr. Ch.
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