Sous-variété / Géométrie différentielle.

Pierre.tbx · February 2018

Bonsoir à tous,
je ne comprends pas comment montrer qu'un sous-ensemble $M$ n'est pas une sous-variété de $\mathbb{R}^{2}$,
avec $M=\{(x,y)=(x,\mid x \mid)$ tels que $x \in \mathbb{R}\}$, (j'ai réussi à montrer par exemple que le cône $\{ x^{2}+y^{2}-z^{2}= \lambda \} $ n'était pas une sous-variété en $\lambda=0$, par des arguments de connexité, mais là.. rien à faire même si j'enlève une point sur la courbe alors M possédera 2 composantes connexes, mais $\mathbb{R}$ aussi ?

Voici le début du raisonnement foireux.
Si je suppose que c'est une sous-variété alors $\forall x \in M$ alors $\exists U \subset \mathbb{R}^{2}$ un voisinage de $x$ et donc il existe un $r$, tel que $B(x,r)\cap M \cong \mathbb{R}^{n}$ avec $n=2$ ou $n=1$. Si $n=2$ c'est impossible par des arguments de connexités, $(\mathbb{R}^{2} \setminus \{a\})$ est connexe par arc) mais si $n=1$.. alors là.. c'est la galère.

Merci beaucoup à ceux qui prendrons le temps de lire, d'essayer et de répondre à ce message.
Pierre.

Lupulus · February 2018

C'est une sous-variété topologique donc l'argument sera un peu plus compliqué. Quelle est ta définition précise d'une sous-variété de $\Bbb R^2$ ? L'argument est que $M$ n'est pas donnée localement par le graphe d'une fonction lisse (à cause de la valeur absolue) mais pour en savoir plus il faut connaître ta définition de sous-variété.

Poirot · February 2018

La raison pour laquelle ton $M$ n'est pas une sous-variété de $\mathbb R^2$ est qu'il admet un coin en $(0,0)$, aucun paramétrage régulier ne te donnera ça ! Tu l'as dit, par un argument de connexité, s'il s'agissait d'une sous-variété de $\mathbb R^2$, elle serait de dimension $1$ partout (car on a un paramétrage de dimension $1$ là le graphe est lisse). Il ne reste plus qu'à montrer que l'espace tangent en $(0, 0)$ n'est pas une droite par exemple...

Algèbre · February 2018

Poirot parler d'espace tangent n'a pas lieu si on ne sait pas que c'est une variété. Un moyen de conclure serait de montrer que l'on n'a pas de paramétrage lisse près de (0, 0).

En utilisant la définition "immersion" de sous-variété.

[Un seul message suffisait, comme d'habitude. Poirot]

Pierre.tbx · February 2018

Merci beaucoup à vous tous, j'essaie de mettre ça en place et de mettre une réponse détaillée de la preuve.
Ma définition de sous-variété est la caractérisation par la pré-image d'un point par une submersion, image par immersion, difféo pour le redressement et graphe, les "classiques".