Sous-variété / Géométrie différentielle.
dans Topologie
Bonsoir à tous,
je ne comprends pas comment montrer qu'un sous-ensemble $M$ n'est pas une sous-variété de $\mathbb{R}^{2}$,
avec $M=\{(x,y)=(x,\mid x \mid)$ tels que $x \in \mathbb{R}\}$, (j'ai réussi à montrer par exemple que le cône $\{ x^{2}+y^{2}-z^{2}= \lambda \} $ n'était pas une sous-variété en $\lambda=0$, par des arguments de connexité, mais là.. rien à faire même si j'enlève une point sur la courbe alors M possédera 2 composantes connexes, mais $\mathbb{R}$ aussi ?
Voici le début du raisonnement foireux.
Si je suppose que c'est une sous-variété alors $\forall x \in M$ alors $\exists U \subset \mathbb{R}^{2}$ un voisinage de $x$ et donc il existe un $r$, tel que $B(x,r)\cap M \cong \mathbb{R}^{n}$ avec $n=2$ ou $n=1$. Si $n=2$ c'est impossible par des arguments de connexités, $(\mathbb{R}^{2} \setminus \{a\})$ est connexe par arc) mais si $n=1$.. alors là.. c'est la galère.
Merci beaucoup à ceux qui prendrons le temps de lire, d'essayer et de répondre à ce message.
Pierre.
je ne comprends pas comment montrer qu'un sous-ensemble $M$ n'est pas une sous-variété de $\mathbb{R}^{2}$,
avec $M=\{(x,y)=(x,\mid x \mid)$ tels que $x \in \mathbb{R}\}$, (j'ai réussi à montrer par exemple que le cône $\{ x^{2}+y^{2}-z^{2}= \lambda \} $ n'était pas une sous-variété en $\lambda=0$, par des arguments de connexité, mais là.. rien à faire même si j'enlève une point sur la courbe alors M possédera 2 composantes connexes, mais $\mathbb{R}$ aussi ?
Voici le début du raisonnement foireux.
Si je suppose que c'est une sous-variété alors $\forall x \in M$ alors $\exists U \subset \mathbb{R}^{2}$ un voisinage de $x$ et donc il existe un $r$, tel que $B(x,r)\cap M \cong \mathbb{R}^{n}$ avec $n=2$ ou $n=1$. Si $n=2$ c'est impossible par des arguments de connexités, $(\mathbb{R}^{2} \setminus \{a\})$ est connexe par arc) mais si $n=1$.. alors là.. c'est la galère.
Merci beaucoup à ceux qui prendrons le temps de lire, d'essayer et de répondre à ce message.
Pierre.
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Réponses
En utilisant la définition "immersion" de sous-variété.
[Un seul message suffisait, comme d'habitude. Poirot]
Ma définition de sous-variété est la caractérisation par la pré-image d'un point par une submersion, image par immersion, difféo pour le redressement et graphe, les "classiques".