Norme subordonnée et adjoint
Bonjour aux forumeurs,
topologie ou algèbre (ou shtam :-X) ? toujours est-il que je me suis demandé si l'on sait caractériser les normes (les plus générales) sur un espace euclidien telles que la norme d'opérateur satisfasse toujours $|||u^*|||=|||u|||$.
Et toujours est-il que je ne sais pas ! Quelqu'un a-t-il des idées là-dessus ?
Cdlt, Hicham
Bon, j'ai quand même une ou deux idées : la norme d'un opérateur orthogonal est toujours $\ge 1$, la norme d'une matrice symétrique positive est supérieure ou égale à sa norme subordonnée euclidienne. Cela donne l'idée d'utiliser la décomposition polaire, mézapré ?
topologie ou algèbre (ou shtam :-X) ? toujours est-il que je me suis demandé si l'on sait caractériser les normes (les plus générales) sur un espace euclidien telles que la norme d'opérateur satisfasse toujours $|||u^*|||=|||u|||$.
Et toujours est-il que je ne sais pas ! Quelqu'un a-t-il des idées là-dessus ?
Cdlt, Hicham
Bon, j'ai quand même une ou deux idées : la norme d'un opérateur orthogonal est toujours $\ge 1$, la norme d'une matrice symétrique positive est supérieure ou égale à sa norme subordonnée euclidienne. Cela donne l'idée d'utiliser la décomposition polaire, mézapré ?
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
En particulier, on doit avoir pour tout $(a,\,x)\in E^2$, l'inégalité $(a|x)\leqslant\lambda N(a)N(x)$ ; si l'on fait $x=a$, cela implique que $||a||^2\leqslant\lambda N(a)^2$. En même temps, la sphère unité de $(E,\,N)$ étant compacte, pour tout $a$, il existe un $x$ tel que $N(x)=1$ et $(a|x)=\lambda N(a)$ ; avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a donc $||a||\geqslant\sqrt\lambda N(a)$ d'où {\em in fine} l'égalité $N(a)=\sqrt\lambda||a||$ pour tout $a$.
La réciproque est immédiate : une CNS est donc que $N$ soit proportionnelle à la norme euclidienne.
C'était donc bien plutôt de la Topologie...
..
Cordialement, j__j.
Cdlt, Hicham
Cdlt, Hicham
À ce propos, j'ai une piste (en dimension finie) mais pas trop le temps pour m'y atteler : la boule unité fermée $B'$ de la norme $||\ ||$ est un convexe équilibré borné et absorbant ; si l'on choisit un $x_0\in E$, l'ensemble des $u(x_0)$, où $u$ décrit $B'$ en est donc un aussi pour la topologie canonique de $E$ et la jauge associée à ce convexe serait un bon candidat pour être la norme cherchée.
Bonne soirée, j__j
post scriptum : j'ai l'impression que, pour traiter cet exercice, il faut supposer que $E$ est de dimension finie ; en effet, dans le cas contraire, je doute qu'une norme sur $E$ rende continus tous les endomorphismes de $E$ -- et en particulier ceux qui ont un spectre non borné.
Avis aux amateurs ! Cordialement, j__j
https://fr.wikipedia.org/wiki/Norme_d'opérateur
En outre, cela répond (par la négative) à une autre question que je m'étais posée : dans une algèbre de dimension finie, si deux normes d'algèbre $N_1,N_2$ satisfont identiquement $N_1(x)\leqslant N_2(x)$, sont-elles alors égales ?
Hicham, cela clôt-il le problème ?
Ah oui, merci, j__j, je n'avais plus suivi le fil !
Cdlt, Hicham