Norme subordonnée et adjoint

Réponses

• john_john

  February 2018

  Soit $E$ euclidien, de norme associée $||\cdot||$ et $N$ une seconde norme ; à quelle CNS la norme subordonnée associée $N$ est-elle invariante par l'adjonction ? Pour $a,b\in E$, l'adjoint de $(a|\cdot)b$ est $(b|\cdot) a$. Une CN est donc que ${\rm Sup}(a|x)\cdot N(b)={\rm Sup}(b|x)\cdot N(a)$, où $x$ décrit la sphère unité $S$ de $(E,\,N)$. Cela devant être vrai pour tout $(a,\,b)$, une CN est que l'on ait un scalaire $\lambda>0$ tel que, pour tout $a$, ${\rm Sup}_S(a|x)=\lambda N(a)$.
  
  En particulier, on doit avoir pour tout $(a,\,x)\in E^2$, l'inégalité $(a|x)\leqslant\lambda N(a)N(x)$ ; si l'on fait $x=a$, cela implique que $||a||^2\leqslant\lambda N(a)^2$. En même temps, la sphère unité de $(E,\,N)$ étant compacte, pour tout $a$, il existe un $x$ tel que $N(x)=1$ et $(a|x)=\lambda N(a)$ ; avec l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a donc $||a||\geqslant\sqrt\lambda N(a)$ d'où {\em in fine} l'égalité $N(a)=\sqrt\lambda||a||$ pour tout $a$.
  
  La réciproque est immédiate : une CNS est donc que $N$ soit proportionnelle à la norme euclidienne.
  
  C'était donc bien plutôt de la Topologie...
  ..
  Cordialement, j__j.
• hicham 

  February 2018

  Ah oui d'accord, je cherchais dans une autre direction ! Bien vu
  
  Cdlt, Hicham
• hicham 

  February 2018

  Une autre question que je me pose : si $||\cdot||$ est une norme d'algèbre définie sur ${\cal L}(E)$, où $E$ est un espace réel, est-elle subordonnée à une norme sur $E$ ?
  
  Cdlt, Hicham
• MrJ

  February 2018

  Non car une norme subordonnée vérifie $\|Id\|=1$, ce qui n’est pas le cas d’une normale d’algèbre en général.
• john_john

  February 2018

  MrJ : cela se discute ; pour moi, une norme d'algèbre envoie l'unité sur $1_\R$ et ne se contente pas d'être sous-multiplicative. Bien entendu, tout le monde ne s'entend pas non plus sur la définition d'algèbre : existence ou non d'une unité. Pour ma part, j'avais interprété la question de Hicham avec $||Id||=1$. Pour le reste, si tu n'en es pas d'accord, je me permets de reformuler sa question à ma façon : une norme de ${\cal L}$ sous-multiplicative et telle que $||Id||=1$ est-elle subordonnée ?
  
  À ce propos, j'ai une piste (en dimension finie) mais pas trop le temps pour m'y atteler : la boule unité fermée $B'$ de la norme $||\ ||$ est un convexe équilibré borné et absorbant ; si l'on choisit un $x_0\in E$, l'ensemble des $u(x_0)$, où $u$ décrit $B'$ en est donc un aussi pour la topologie canonique de $E$ et la jauge associée à ce convexe serait un bon candidat pour être la norme cherchée.
  
  Bonne soirée, j__j
  
  post scriptum : j'ai l'impression que, pour traiter cet exercice, il faut supposer que $E$ est de dimension finie ; en effet, dans le cas contraire, je doute qu'une norme sur $E$ rende continus tous les endomorphismes de $E$ -- et en particulier ceux qui ont un spectre non borné.
• john_john

  February 2018

  Je me réponds à moi-même (d'autant plus que le sujet semble ne passionner qu'Hicham, MrJ et moi) : avec la norme $N$ sur $E$ associée à la jauge décrite supra, la norme subordonnée $|||\cdot|||$ satisfait seulement $|||\cdot|||\leqslant||\cdot||$ mais le théorème de Hahn-Banach me dit qu'il y a égalité ssi $N(x)$ est, pour tout $x$, la borne inférieure des $||u(x_0)||$ tels que $u\in B'$ {\em et} $u(x_0)=x$. Comme je commence à douter que cela soit toujours satisfait, il reste à trouver un contre-exemple.
  
  Avis aux amateurs ! Cordialement, j__j
• john_john

  February 2018

  Le contre -exemple existait avant nous : yavéka le chercher :
  
  https://fr.wikipedia.org/wiki/Norme_d'opérateur
  
  En outre, cela répond (par la négative) à une autre question que je m'étais posée : dans une algèbre de dimension finie, si deux normes d'algèbre $N_1,N_2$ satisfont identiquement $N_1(x)\leqslant N_2(x)$, sont-elles alors égales ?
  
  Hicham, cela clôt-il le problème ?
• hicham 

  March 2018

  Hicham, cela clôt-il le problème ?
  
  Ah oui, merci, j__j, je n'avais plus suivi le fil !
  
  Cdlt, Hicham