ouvert compact, distance
Bonjour
J'ai un petit exercice à résoudre.
(I) Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$, $F$ est compact dans $\mathbb{R}^{n}$ et $F\subset U.$
Supposons qu'il existe $r>0$ tel que $\{ x\in \mathbb{R}^{n}\mid d( x,F )\le r \}\subset U.$
Déduire qu'il existe un ouvert $A$ de $\mathbb{R}^{n}$ tel que $\bar{A}$ soit compact et $F\subset A\subset \bar{A}\subset U.$
(II) Soit $U$ un ouvert non vide de ${{\mathbb{R}}^{n}}$ Pour tout $p\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ on pose :
${{U}_{p}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x,\partial U \right)>\frac{1}{p} \right\}\cap U\cap B\left( 0,p \right)$ où $\partial U$ désigne frontière de $U$ et $B\left( 0,p \right)$ la boule ouverte de centre ${{0}_{{{\mathbb{R}}^{n}}}}$ et de rayon $p$.
1- ${{U}_{p}}$ ouvert est borné
2- ${{F}_{p}}\subset Int({{F}_{k+1}})$
3- $U={{\bigcup }_{k\in {{N}^{*}}}}{{F}_{k}}$.
Voilà ce que j'ai trouvé pour la (II).
$1/p$ est minorant de ${{U}_{p}}$ et $p$ est majorant de ${{U}_{p}}$, si tout va bien ${{\bar{U}}_{p}}={{F}_{p}}$ est un fermé et borné donc un compact.
2- ${{\overset{\circ }{\mathop{F}}\,}_{p+1}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;\partial U \right)>\frac{1}{p+1} \right\}\cap U\cap \left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;0 \right)<p+1 \right\}$.
${{F}_{p}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;\partial U \right)\ge \frac{1}{p} \right\}\cap U\cap \left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;0 \right)\le p \right\}$
${{F}_{p}}\cap \overset{\circ }{\mathop{{{F}_{p+1}}}}\,=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;\partial U \right)\ge \frac{1}{p} \right\}\cap U\cap \left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;0 \right)\le p \right\}={{F}_{p}}$
Ce qui prouve que : ${{F}_{p}}\subset \overset{\circ}{F}_{p+1}$
Je vous remercie.
J'ai un petit exercice à résoudre.
(I) Soit $U$ un ouvert de $\mathbb{R}^{n}$, $F$ est compact dans $\mathbb{R}^{n}$ et $F\subset U.$
Supposons qu'il existe $r>0$ tel que $\{ x\in \mathbb{R}^{n}\mid d( x,F )\le r \}\subset U.$
Déduire qu'il existe un ouvert $A$ de $\mathbb{R}^{n}$ tel que $\bar{A}$ soit compact et $F\subset A\subset \bar{A}\subset U.$
(II) Soit $U$ un ouvert non vide de ${{\mathbb{R}}^{n}}$ Pour tout $p\in {{\mathbb{N}}^{*}}$ on pose :
${{U}_{p}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x,\partial U \right)>\frac{1}{p} \right\}\cap U\cap B\left( 0,p \right)$ où $\partial U$ désigne frontière de $U$ et $B\left( 0,p \right)$ la boule ouverte de centre ${{0}_{{{\mathbb{R}}^{n}}}}$ et de rayon $p$.
1- ${{U}_{p}}$ ouvert est borné
2- ${{F}_{p}}\subset Int({{F}_{k+1}})$
3- $U={{\bigcup }_{k\in {{N}^{*}}}}{{F}_{k}}$.
Voilà ce que j'ai trouvé pour la (II).
$1/p$ est minorant de ${{U}_{p}}$ et $p$ est majorant de ${{U}_{p}}$, si tout va bien ${{\bar{U}}_{p}}={{F}_{p}}$ est un fermé et borné donc un compact.
2- ${{\overset{\circ }{\mathop{F}}\,}_{p+1}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;\partial U \right)>\frac{1}{p+1} \right\}\cap U\cap \left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;0 \right)<p+1 \right\}$.
${{F}_{p}}=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;\partial U \right)\ge \frac{1}{p} \right\}\cap U\cap \left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;0 \right)\le p \right\}$
${{F}_{p}}\cap \overset{\circ }{\mathop{{{F}_{p+1}}}}\,=\left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;\partial U \right)\ge \frac{1}{p} \right\}\cap U\cap \left\{ x\in {{\mathbb{R}}^{n}}\mid d\left( x;0 \right)\le p \right\}={{F}_{p}}$
Ce qui prouve que : ${{F}_{p}}\subset \overset{\circ}{F}_{p+1}$
Je vous remercie.
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Réponses
Pour I, tu peux construire ton ouvert encore comme pré image d'un ouvert par ta fonction distance.
[Comme d'habitude, un seul message suffisait. Poirot]
Je n’ai pas bien compris ce que tu veux dire.