espace vectoriel topologique separé

Si $E$ est l'espace vectoriel topologique, il faut d'abord montrer que $\{(x,y) \in E\times E \mid x\neq y\}$ est un ouvert dans $E \times E$ (pour la topologie produit).

Pour avoir le plus de chances de le prouver, il faut voir d'où ça vient. Et pour voir d'où ça vient, le mieux est peut-être d'avoir les hypothèses minimales: en fait pour un groupe topologique, si $\{e\}$ ($e$ le neutre) est fermé, alors le groupe en question est séparé.
Un espace vectoriel topologique étant en particulier un groupe topologique, tu peux alors appliquer ce résultat. Puisque "groupe topologique" est (en tout cas semble être) une hypothèse proche de minimale, ça te facilitera peut-être la tâche

Je pense que l'idée de Marco est la plus intéressante, mais en la voyant comme ceci : il faut montrer que $\{(x,y) \in E\times E\mid x=y\}$ est fermé dans $E\times E$. Si l'on réécrit ceci un peu, c'est $\{(x,y) \in E\times E\mid x-y=0\}$...

Si $x$ et $y$ sont des éléments différents de $E$, le couple $(x,y)$ est dans l'ouvert complémentaire de la diagonale $\{(w,w)\mid w\in E\}$. Ta clairvoyance te permettra de comprendre le rapport entre le fait que ce complémentaire soit ouvert pour la topologie produit et ce que tu veux montrer, à savoir que $x$ et $y$ ont des voisinages ouverts disjoints. Tu peux éventuellement faire un petit dessin pour y voir plus clair.