Sphère localement compacte
dans Topologie
Bonjour,
Si la sphère unité est compacte alors tout l’espace est localement compact ?
Merci d’avance
Si la sphère unité est compacte alors tout l’espace est localement compact ?
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Réponses
Oui un espace vectoriel normé mais rationnel
Merci d’avance
Quel point n'as-tu pas compris dans ma réponse ?
Merci d’avance
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Merci d’avance
Donc on a $\C$
Merci d’avance
Bon, si tu prends un $\R$ espace vectoriel de dimension finie que tu considères comme $\Q$-espace vectoriel, tu ne vas pas perdre la compacité locale.
Mais prenons par exemple $\Q$. La sphère unité dans $\Q$ est bien compacte, n'est-ce pas ?
C'est bien ça ?
Chaurien c’est la plus petite extension de $\Q$ qui contient le cercle
Il est composé des combinaisons linéaires des éléments du cercle à coefficient dans $\Q$
$\R$ est un $\Q$-ev localement compact
Pardon pour le manque de clarté
Merci d’avance
Est ce que vous pensez qu’un K-espace vectoriel (K corps local) de dimension infinie peut être localement compact en tant qu’espace vectoriel rationnel ?
Merci d’avance.
Il me semble qu'un $\mathbb Q$-espace vectoriel normé $E$ est un $\mathbb Q$-espace vectoriel, avec une norme qui est une application $x \mapsto ||x||$ de $E$ dans $\mathbb Q$, vérifiant les propriétés connues d'une norme, le corps $\mathbb Q$ étant muni de sa valeur absolue usuelle (on pourrait choisir une autre valeur absolue, mais n'en parlons pas aujourd'hui). On définit ainsi dans $E$ des boules, des ouverts, des fermés comme d'habitude.
Un segment $[a,b]$ de $\mathbb Q$, $a<b$, n'est pas complet. Par suite, un segment d'une droite de $E$ n'est pas complet, et une boule fermée de $E$ ne l'est pas non plus. Une boule fermée de $E$ n'est donc pas compacte, et $E$ n'est pas localement compact (si $E \neq \{0\}$ bien sûr) .
L'ensemble $\mathbb R$, avec son addition usuelle et de sa multiplication usuelle, réel par rationnel, est assurément un $\mathbb Q$-espace vectoriel. Il a donc une $\mathbb Q$-base, dite base de Hamel, et on peut donc le munir d'une norme de $\mathbb Q$-espace vectoriel.
Mais la valeur absolue usuelle sur $\mathbb R$ n'est pas une norme de $\mathbb Q$-espace vectoriel, puisqu'elle n'est pas à valeurs dans $\mathbb Q$. Il n'y a donc aucune raison pour que la topologie de $\mathbb R$ comme $\mathbb Q$-espace vectoriel normé soit la topologie usuelle que nous connaissons bien, et il n'est alors pas étonnant que $\mathbb R$ ne soit pas localement compact pour cette autre topologie.
Mon manque d'habitude de ces questions m'a peut-être fait commettre des erreurs, alors vous voudrez bien me les signaler.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Pour compléter : la valeur absolue usuelle est une norme sur le $\Q$-espace vectoriel $\R$ ($\Q$ muni de sa valeur absolue usuelle). On peut consulter cette page wikipedia.