Sphère localement compacte

superpower · February 2018

Bonjour,
Si la sphère unité est compacte alors tout l’espace est localement compact ?
Merci d’avance

Maxtimax · February 2018

Ça dépend de quel contexte. Dans un espace vectoriel normé, oui, car en chaque point $x$, $B(x,1)$ (boule fermée) est un voisinage de $x$, homéomorphe à $B(0,1)$ donc compact

superpower · February 2018

Excusez moi je n’ai pas compris votre réponse
Oui un espace vectoriel normé mais rationnel
Merci d’avance

Maxtimax · February 2018

Un $\mathbb{Q}$-espace vectoriel ? ça ne change pas ma réponse mais je pense que la situation se produira rarement dans ce cas là

Quel point n'as-tu pas compris dans ma réponse ?

superpower · February 2018

Si la sphère unité est compacte alors la boule unité est compacte?
Merci d’avance

moduloP · February 2018

Boule unité de quoi ?

superpower · February 2018

Boule unité de l’espace vectoriel normé
Merci d’avance

marco · February 2018

Si $S$ est la sphère unité de l'espace vectoriel normé $E$, on peut considérer l'application de $S \times [0,1]$ dans $E$, qui à $(x,\lambda)$ associe $\lambda x$. Cette application est continue.

superpower · February 2018

Mais $[0,1]$ n’est pas compact dans $\mathbb Q$
Merci d’avance

GaBuZoMeu · February 2018

Qu'est-ce que tu essaies de faire ? C'est bien sûr que $[0,1]$ n'est pas compact dans $\Q$, alors qu'est-ce que tu espères ?

superpower · February 2018

Que l’espace soit localement compact
Merci d’avance

GaBuZoMeu · February 2018

Mais, ne vois-tu pas qu'il n'y a justement aucun espoir, puisque $[0,1]\cap \Q$ n'est pas compact ?

superpower · February 2018

Par exemple le $\mathbb Q$-ev $\mathbb Q(S^1)$ a un sphère compacte et est localement compacte
Merci d’avance

GaBuZoMeu · February 2018

Peux-tu expliciter ?

superpower · February 2018

Cet espace vectoriel c’est $\C$ car si on ajoute un élément du cercle et son conjugué on a 2 cos machin donc on a $[0,1]$
Donc on a $\C$

Merci d’avance

Chaurien · February 2018

J'aimerais comprendre ce qu'est $\mathbb Q(S^1)$.

superpower · February 2018

C’est les rationnels où l’on a adjoint tous les éléments du cercle unité

Chaurien · February 2018

J'ai bien l'impression qu'aucun $\mathbb Q$-espace vectoriel normé autre que $\{0\}$ n'est localement compact. En effet, dans cet espace, une boule fermée n'est pas complète donc n'est pas compacte. Mais je n'ai pas trop l'habitude de ces $\mathbb Q$-espaces vectoriels normés. Quelqu'un en sait-il plus sur de tels espaces ?

GaBuZoMeu · February 2018

C'est d'une clarté limpide ! ;-)
Bon, si tu prends un $\R$ espace vectoriel de dimension finie que tu considères comme $\Q$-espace vectoriel, tu ne vas pas perdre la compacité locale.
Mais prenons par exemple $\Q$. La sphère unité dans $\Q$ est bien compacte, n'est-ce pas ?

Chaurien · February 2018

Donc $S^1$ est l'ensemble des nombres complexes de module 1, et $\mathbb Q(S^1)=\{x+yu \mid x \in \mathbb Q,\ y \in \mathbb Q,\ u\in S^1\} $ ?
C'est bien ça ?

Maxtimax · February 2018

Je m'excuse pour mes premiers messages, j'avais mal lu la question.

Poirot · February 2018

Comme d'habitude superpower donne des énoncés approximatifs à propos desquels on ne peut apporter de réponses satisfaisantes.

superpower · February 2018

Oui plus,ou moins un est compact

Chaurien c’est la plus petite extension de $\Q$ qui contient le cercle
Il est composé des combinaisons linéaires des éléments du cercle à coefficient dans $\Q$

$\R$ est un $\Q$-ev localement compact

Pardon pour le manque de clarté
Merci d’avance

superpower · February 2018

On se place en caractéristique 0
Est ce que vous pensez qu’un K-espace vectoriel (K corps local) de dimension infinie peut être localement compact en tant qu’espace vectoriel rationnel ?
Merci d’avance.

Chaurien · February 2018

Je ne suis jamais soucié de $\mathbb Q$-espaces vectoriels normés. Mais d'en parler ici m'a fait réfléchir à ce sujet, et m'a fait venir des questions.

Il me semble qu'un $\mathbb Q$-espace vectoriel normé $E$ est un $\mathbb Q$-espace vectoriel, avec une norme qui est une application $x \mapsto ||x||$ de $E$ dans $\mathbb Q$, vérifiant les propriétés connues d'une norme, le corps $\mathbb Q$ étant muni de sa valeur absolue usuelle (on pourrait choisir une autre valeur absolue, mais n'en parlons pas aujourd'hui). On définit ainsi dans $E$ des boules, des ouverts, des fermés comme d'habitude.

Un segment $[a,b]$ de $\mathbb Q$, $a<b$, n'est pas complet. Par suite, un segment d'une droite de $E$ n'est pas complet, et une boule fermée de $E$ ne l'est pas non plus. Une boule fermée de $E$ n'est donc pas compacte, et $E$ n'est pas localement compact (si $E \neq \{0\}$ bien sûr) .

L'ensemble $\mathbb R$, avec son addition usuelle et de sa multiplication usuelle, réel par rationnel, est assurément un $\mathbb Q$-espace vectoriel. Il a donc une $\mathbb Q$-base, dite base de Hamel, et on peut donc le munir d'une norme de $\mathbb Q$-espace vectoriel.

Mais la valeur absolue usuelle sur $\mathbb R$ n'est pas une norme de $\mathbb Q$-espace vectoriel, puisqu'elle n'est pas à valeurs dans $\mathbb Q$. Il n'y a donc aucune raison pour que la topologie de $\mathbb R$ comme $\mathbb Q$-espace vectoriel normé soit la topologie usuelle que nous connaissons bien, et il n'est alors pas étonnant que $\mathbb R$ ne soit pas localement compact pour cette autre topologie.

Mon manque d'habitude de ces questions m'a peut-être fait commettre des erreurs, alors vous voudrez bien me les signaler.

Bonne soirée.
Fr. Ch.

GaBuZoMeu · February 2018

Une norme est à valeurs dans $\R_+$. Pas dans $\Q$.

Pour compléter : la valeur absolue usuelle est une norme sur le $\Q$-espace vectoriel $\R$ ($\Q$ muni de sa valeur absolue usuelle). On peut consulter cette page wikipedia.

Sphère localement compacte

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