espace connexe

En général les gens étudient les espaces vectoriels topologiques sur $\R$ ou $\C$, bref des corps connexes.
Pour le théorème, soit $E$ un espace vectoriel topologique (sur un de ces deux corps). Si $f:E\to \{0,1\}$ est continue, que penser de la restriction de $f$ à chaque droite ?


NB: plus généralement soit $(X,\tau)$ un espace topologique et $(A_i)_{i \in I}$ une famille parties connexes de $X$. Si pour tous $x,y$, il existe $N\in \N$ et $i_1,...,i_n$ tels que $x\in A_{i_1}$, $y \in A_{i_N}$ et $A_{i_k} \cap A_{i_{k+1}} \neq \emptyset$, alors $X$ est connexe (ainsi on relie la notion de connexité topologique à la connexité d'un certain graphe. Pour montrer cette affirmation, on considère $f:X\to \{0,1\}$ continue et on montre qu'elle est constante en examinant sa restriction aux $A_i$).