Réunion de segments dans un compact

anthomedal · February 2018

Bonjour à tous

Soient $(E, || \cdot ||)$ un espace vectoriel normé de dimension finie, $U$ un convexe de $E$ et $K$ un compact de $U$.
Je cherche à montrer que $$
C = \bigcup_{(x,y) \in K^2} [x,y]
$$ est un compact de $U$. Alors j'ai déjà noté que $C$ est inclus dans $U$ puisque ce dernier est convexe et que $C$ est une réunion de segments. Mais je ne sais pas de où partir ?
Quelqu'un a une piste ? Merci d'avance.

killersmile38 · February 2018

Comme tu es en dimension finie, il suffit de montrer que $C$ est fermé borné(sachant que $K$ l'est).

GaBuZoMeu · February 2018

$$[x,y]=\{\lambda x +(1-\lambda)y\mid \lambda\in [0,1]\}\;.$$
Peux-tu écrire $C$ comme image continue d'un compact ?

anthomedal · February 2018

Killersmile, j'y ai pensé, mais pour borné je veux bien, mais c'est une réunion (non finie) de fermés, et je n'ai pas encore trouvé comment montrer qu'elle est fermée.

Gabuzomeu, merci je vais y réfléchir.

Chaurien · February 2018

Déjà l'énoncé est bizarre. Tout compact est inclus dans un convexe, non ?

Chaurien · February 2018

J'ai l'impression que $C$ est l'enveloppe convexe de $K$ mais je n'ai pas la démonstration. Si c'était le cas, la question posée serait un théorème connu.

GaBuZoMeu · February 2018

Tout compact, je ne dirais pas ça, mais tout compact contenu dans un espace vectoriel réel ou complexe normé, oui : l'espace lui-même est convexe.

PS. Chaurien, ton impression est fausse : prends pour $K$ trois points non alignés dans le plan.
PPS. Le théorème auquel tu penses est bien plus compliqué que ce qui est demandé ici.

Chaurien · February 2018

Oui, bien sûr, ma première assertion se situait implicitement dans le cadre de la question initiale.
Et je regrette que mon impression ne soit pas la bonne, je n'avais pas pensé aux ensembles finis de points. Serait-ce vrai pour un compact connexe ?

GaBuZoMeu · February 2018

Serait-ce vrai pour un compact connexe ?

Euh, Chaurien, pas très en forme ce matin ?

anthomedal · February 2018

Je suis désolé d'annoncer que je n'ai pas trouvé

gb · February 2018

Bonjour,

Autre proposition (version plus terre à terre de l'indication de GaBuZoMeu) : tu considères une suite dans la réunion des segments et tu en extrais, en trois fois, une sous-suite convergente.

GaBuZoMeu · February 2018

Quand même ! $$
C=\{z\in E\mid \exists x\in K,\ \exists y\in K,\ \exists \lambda \in [0,1],\ \ z=\lambda x+(1-\lambda) y\}
$$ Est-ce si difficile d'écrire $C$ comme image d'un compact par une fonction continue ?

gb · February 2018

Si l'on ne sait pas qu'un produit de compacts est compact…

GaBuZoMeu · February 2018

Mon message s'adressait à anthomedal, pas à toi gb.
Maintenant peut-être qu'anthomedal ne sait pas (plus) qu'un produit de compacts est compact. Peut-être aussi qu'il ne sait pas (plus) que l'image d'un compact par une fonction continue est compacte.

anthomedal · February 2018

Hmm $f : K \times K \times [0,1] \rightarrow E$, $ (x,y,\lambda) \rightarrow \lambda x + (1-\lambda) y$, c'est ta réécriture de $C$ qui a fait tilt, si je ne m'abuse on a bien $f(K \times K \times [0,1]) = C$, je connais toutes les propriétés des compacts que vous avez données mais je n'ai pas réussi à recoller les morceaux !

Par contre j'ai encore une question, si ce que je viens d'écrire constitue une démonstration valable, je ne crois pas me tromper en disant qu'on n'a pas utilisé le fait que $E$ soit de dimension finie ?

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