Bonjour,
Je bloque sur le 1er exo question a) fourni en pièce jointe : j'ai essayé d'appliquer l'inégalité triangulaire (la deuxième inégalité) dans tous les sens en vain. Avez une astuce pour me débloquer ? De même pour les questions b) et c) ?
Merci d'avance !
Fabrice
Réponses
Il suffit d'utiliser des inégalités du triangle du style :
\[\lVert x-t \rVert \leqslant \lVert x-a \rVert + \lVert a-t \rVert.\]
Mais pour majorer \(\lVert x-t \rVert\) et \(\lVert y-z \rVert\), tu as deux choix possibles pour l'élément \(a\) que tu introduis dans l'inégalité, ce qui va te conduire à 4 inégalités qu'il faudra exploiter à bon escient.
$||x-y||+||y-t||+||t-z||+||z-x|| \ge ||x-t||+||y-z||$.
Fais un dessin.
Bon courage.
Fr. Ch.
Pour le c, comme l'inégalité est symétique en \(x\) et \(y\), on peut, sans perte de généralité, supposer : \(\lVert x \rVert \geqslant \lVert y \rVert\). On est ainsi ramené à démonter :
\[2\lVert x-y \rVert \geqslant \lVert x -ty \rVert\]
avec : \(t = \lVert x \rVert / \lVert y \rVert \geqslant 1\).
Une inégalité triangulaire bien placée doit permettre de conclure.
Question c). On trouve déjà cette question dans : Jean Dieudonné, Éléments d'Analyse, Tome I, Fondements de l'Analyse moderne, Gauthier-Villars, 1972, p. 95. C'est dans les vielles marmites qu'on fait la meilleure soupe. Dieudonné était plus gentil que le professeur de Fabrice2 : considérant sans doute que c'était une question difficile à trouver, il donnait une indication, ce qu'il ne faisait que très rarement dans son traité. Il demandait aussi de prouver que la constante $ \frac 12$ ne pouvait être remplacée par un nombre plus grand.
Il y avait une seconde question : $\left\Vert x-y\right\Vert \geq \frac{1}{4} (\left\Vert x\right\Vert +\left\Vert y\right\Vert
)\left\Vert \frac{x}{\left\Vert x\right\Vert }-\frac{y}{\left\Vert y\right\Vert }\right\Vert $, le coefficient $\frac 14$ étant aussi le meilleur.
J'espère que Fabrice2 y est arrivé, et je lui souhaite bon courage.
Fr. Ch.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Pour l'exercice 2, ne doit-on pas trouver comme CNS : s>=r et ||a-b|| <= s-r ?
Tout comme les braves cercles (resp. disques ) euclidiens dans le brave plan euclidien.
Et maintenant, il faut démontrer ceci.
Dans le sens $\lVert a-b \rVert \le s-r$ implique $B_{f}(a,r)\subset B_{f}(b,s)$, c'est facile.
Dans l'autre sens, considérer le point de la petite boule qui est le plus éloigné du centre de la grande. S'aider encore d'un dessin dans le plan euclidien.
C'est ce qui fait la beauté des espaces vectoriels normés, cette rencontre entre géométrie, algèbre et analyse.
Bonne continuation.
Fr. Ch.
-La conclusion de l'exo 1) a) est encore valide dans un espace métrique général.
[size=x-small]C'est parce que de toute façon un tel espace se plonge isométriquement dans un evn diront les mauvaises langues. En tout cas l'exo est traitable entièrement avec des inégalités triangulaires-et un certain sens de l'astuce certes.[/size]
(édit: grillé par les autres intervenants...)