Partie compacte de $\mathbb{R^2}$

Bonjour à tous, en révisant mon cours de topologie je me suis arrêter à un petit exercice de cours sur les ensembles compactes dans un evn en dimension finie (ici $\mathbb{R^2}$).

Voici l'exercice :

"Montrer que l'ensemble $A = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R^2} / x^2 +y^4 = 1 \right \}$ est un compact de $\mathbb{R^2}$. L'ensemble $B = \left \{(x,y) \in \mathbb{R^2} / x^2 +y^3 = 1 \right \}$ est-il un compact ?"


Bon pour l'ensemble A il n'y a aucune difficulté, A est l'image réciproque par la fonction continue $f : (x,y) \rightarrow x^2 +y^4$ (continue sur $\mathbb{R^2}$ par composition de projections) du singleton $ \left \{ 1 \right \}$ qui est un fermé de $\mathbb{R}$ donc A est un fermé.

A est de plus borné car on peut obtenir une majoration par 1 comme suit : $\forall (x,y) \in A : \mid x \mid \leq 1$ et $ \mid y \mid \leq 1$

Donc il vient que A est un compact de $\mathbb{R^2}$.

Pour B, on à que B est fermé (ça se démontre sans soucis avec le même argument utilisé pour A). Cependant B n'est pas borné, mais je ne vois pas comment le démontrer sans que ça me pose problème. Le livre sur lequel j'étudie propose la solution suivante :

"$\forall x \in \mathbb{R}$, on à $(x,(1-x^2)^{1/3}) \in B$. Si r est un nombre strictement positif et si $x$ est un réel tel que $x > r$ alors on à :

$\left \| (x,(1-x^2)^{1/3}) \right \|_{\infty} > r$ donc B n'est pas inclu dans la boule de centre $(0,0)$ et de rayon r pour la norme infinie. Cela étant vrai quel que soit $r > 0$, la partie B n'est pas bornée donc n'est pas compacte." (fin de la démonstration)

Je ne comprend vraiment pas l'argument utilisé avec la norme infinie. Car moi je vois qu'on peut appliquer le même raisonnement pour A en disant que pour tout $x \in \mathbb{R}$ on à $(x,(1-x^2)^{1/4}) \in A$ et conclure que A n'est pas bornée avec la même argumentation (en prenant x > r...) seulement c'est faux puisque A est bornée.

Si quelqu'un pouvait m'expliquer la subtilité derrière ce raisonnement car cela m'échappe depuis ce matin. Merci beaucoup