Est-il compact ?
Bonjour,
J'aimerais avoir une confirmation ou une invalidation pour le petit raisonnement ci-dessous.
La question est : l'ensemble $T$ des matrices $A \in M_n(\mathbb{R})$ telles que $Tr(A) \in [-1;+1]$ est-il compact ?
Le fait que $T$ soit fermé ne pose pas de problème ; par contre, pour la "bornitude", j'ai écrit ceci (ce qu'il faut contrôler SVP) :
- Il faut choisir une norme sur $M_n(\mathbb{R})$.
- L'espace étant de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
- Je choisis une "norme de coefficients" en identifiant $A=(a_{ij})$ au vecteur $(a_{11},...,a_{nn})$ et en prenant $||A||=||A||_\infty=max(|a_{ij}|)$
- Comme $|a_{ij}| \in \mathbb{R_{+}}$, j'en déduis que $max(|a_{ij}|)$ n'est pas borné.
- Donc $||A||$ n'est pas bornée.
- L'ensemble $T$ n'étant pas borné (pour la norme en question), $T$ n'est pas compact.
J'aimerais avoir une confirmation ou une invalidation pour le petit raisonnement ci-dessous.
La question est : l'ensemble $T$ des matrices $A \in M_n(\mathbb{R})$ telles que $Tr(A) \in [-1;+1]$ est-il compact ?
Le fait que $T$ soit fermé ne pose pas de problème ; par contre, pour la "bornitude", j'ai écrit ceci (ce qu'il faut contrôler SVP) :
- Il faut choisir une norme sur $M_n(\mathbb{R})$.
- L'espace étant de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes.
- Je choisis une "norme de coefficients" en identifiant $A=(a_{ij})$ au vecteur $(a_{11},...,a_{nn})$ et en prenant $||A||=||A||_\infty=max(|a_{ij}|)$
- Comme $|a_{ij}| \in \mathbb{R_{+}}$, j'en déduis que $max(|a_{ij}|)$ n'est pas borné.
- Donc $||A||$ n'est pas bornée.
- L'ensemble $T$ n'étant pas borné (pour la norme en question), $T$ n'est pas compact.
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Réponses
En gros ce que tu dis, c'est que la trace ne parle pas des coefficients en dehors de la diagonale, donc ceux-ci peuvent être aussi grands qu'on veut, donc la norme infini n'est pas bornée sur $T$, c'est ça ?
Parce que à la lecture de ta rédaction, c'est pas complètement limpide, je trouve...
C'est bon, mais plutôt compliqué! Dès que $n\geq 2$ la matrice $A_m$ ayant en haut à gauche le bloc $\begin{pmatrix} m & 0 \\ 0 & -m\end{pmatrix}$ et des $0$ partout ailleurs, est dans $T$ et l'ensemble des $A_m$ est non borné, peu importe la norme choisie.
Montrer que $T$ contient un unique hyperplan de $M_n(\R)$ (sev de codimension 1)
Effectivement ton exemple est plus rapide.
Merci pour vos réponses rapides.