Définition de l'intérieur

Tu as oublié un quantificateur dans la définition. La définition correcte est :
$$\exists \delta > 0\ \ \forall x\ \ (\left\| x-a \right\|<\delta \Rightarrow x \in A)\;.$$

Tes autres écritures ne sont pas correctes syntaxiquement, et si on essaie tout de même de les interpréter elles n'imposent absolument rien sur $a$ (si $A$ est non vide) : prendre n'importe quel $x\in A$ et $\delta=\Vert x-a\Vert +1$.

Bonjour.

Regarde la première avec la distance habituelle sur $\mathbb R$ et A=[0,1] (prends $\delta=5$).

Pour la deuxième, la syntaxe est déficiente ($\forall x \in A$ n'est pas une proposition).

Cordialement.

Les deux points ne servent à rien dans ta première écriture. Ta deuxième écriture n'est pas syntaxiquement correcte.
Vu que tu ne maîtrises pas complètement l'écriture des formules avec quantificateurs, il vaut mieux écrire en français.
La définition de "$a$ appartient à l'intérieur de $A$" est "Il existe $\delta >0$ tel que, pour tout $x$, si $\Vert x-a\Vert < \delta$ alors $x \in A$". Ceci revient à dire "Il existe $\delta >0$ tel que la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $\delta$ est contenue dans $A$".
Ce que tu veux écrire dans ton précédent message, c'est "Il existe $\delta >0$ tel que, pour tout $x\in A$, $\Vert x-a\Vert <\delta$", autrement dit "Il existe $\delta >0$ tel que $A$ est contenu dans la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $\delta$." C'est complètement différent, n'est-ce pas ?

Il existe un alpha strictement supérieur a 0 tel que la boule de centre a et de rayon alpha est incluse dans A. Donc en mathématique :
Il existe alpha positif strictement tel que pour tout x appartenant à la boule de centre a et de rayon alpha on a x appartient à A.
Autrement :
Il existe un certain alpha strictement positif tel que pour tout x vérifiant norme de x-a est inférieur à alpha, on a x appartient à A.
Dont on n'a pas il existe alpha et il existe x ... etc.