sous-ensemble fermé

ines1 · March 2018

Bonjour,
je bloque sur la question qui suit, merci d'avance de m'aider.
Soit $A= \{(x,\dfrac{1}{x}) \in \R^2: x \in \R^\star_+\}$ et soit $B = \{(0,x): x \leq 0\}$
La question est est-ce que A est fermé? Est-ce que $B$ est fermé?

GaBuZoMeu · March 2018

Autrement dit, $A=\{(u,v)\in \R^2\mid u\geq 0 \text{ et } uv=1\}$ et $B=\{(u,v)\in \R^2\mid u= 0 \text{ et } v\leq 0\}$

ines1 · March 2018

C'est bien ça GaBuZoMeu, comment voir s'ils sont fermés?

Chalk · March 2018

Image réciproque d'un fermé par une fonction continue ? Ou critère séquentiel ?

GaBuZoMeu · March 2018

Attends, à lire tes messages, tu parles de $H^2$, de Sobolev, etc., et tu ne saurais pas reconnaître des fermés de $\R^2$ dans les descriptions ci-dessus ?? Il y a quelque chose qui cloche.

Si $f$ est une fonction continue sur $\R^2$, que penses-tu de $\{(u,v)\in \R^2\mid f(u,v) = 0\}$ ? de $\{(u,v)\in \R^2\mid f(u,v)\geq 0\}$ ?

Chalk · March 2018

Une réincarnation de bibtem peut-être :-D ?

ines1 · March 2018

Non c'est que cet exercice est dans le cadre du cours sur le produit de convolution, donc je ne vois pas trop le rapport, je me dis que peut être il y a un truc, c'est tout.

GaBuZoMeu · March 2018

Moi, ce que je vois, c'est que les bases de la topologie te font défaut quand il s'agit d'en faire une application simple.

Chalk · March 2018

ines1 a écrit:

je me dis que peut être il y a un truc

Mais il y a un truc ! Le truc c'est de connaître son cours de L2 ;-)

moduloP · March 2018

Salut Ines,

Ici l'application $m : \R^2 \to \R$ défini par $(a,b) \mapsto ab$ est continue (ok ?).

Que penses-tu $m^{-1}(\{1\})$ ? C'est quoi le rapport avec ta question ?

ines1 · March 2018

Bonjour moduloP
La réciproque d'un fermé par une fonction continue est bien évidemment fermée, et comme $A=f^{-1}(1)$ est que $\{1\}$ est un singleton donc fermé, on déduit que $A$ est fermé.

sous-ensemble fermé

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