Bonjour,
je bloque sur la question qui suit, merci d'avance de m'aider.
Soit $A= \{(x,\dfrac{1}{x}) \in \R^2: x \in \R^\star_+\}$ et soit $B = \{(0,x): x \leq 0\}$
La question est est-ce que A est fermé? Est-ce que $B$ est fermé?
Attends, à lire tes messages, tu parles de $H^2$, de Sobolev, etc., et tu ne saurais pas reconnaître des fermés de $\R^2$ dans les descriptions ci-dessus ?? Il y a quelque chose qui cloche.
Si $f$ est une fonction continue sur $\R^2$, que penses-tu de $\{(u,v)\in \R^2\mid f(u,v) = 0\}$ ? de $\{(u,v)\in \R^2\mid f(u,v)\geq 0\}$ ?
Non c'est que cet exercice est dans le cadre du cours sur le produit de convolution, donc je ne vois pas trop le rapport, je me dis que peut être il y a un truc, c'est tout.
Bonjour moduloP
La réciproque d'un fermé par une fonction continue est bien évidemment fermée, et comme $A=f^{-1}(1)$ est que $\{1\}$ est un singleton donc fermé, on déduit que $A$ est fermé.
Réponses
Si $f$ est une fonction continue sur $\R^2$, que penses-tu de $\{(u,v)\in \R^2\mid f(u,v) = 0\}$ ? de $\{(u,v)\in \R^2\mid f(u,v)\geq 0\}$ ?
Ici l'application $m : \R^2 \to \R$ défini par $(a,b) \mapsto ab$ est continue (ok ?).
Que penses-tu $m^{-1}(\{1\})$ ? C'est quoi le rapport avec ta question ?
La réciproque d'un fermé par une fonction continue est bien évidemment fermée, et comme $A=f^{-1}(1)$ est que $\{1\}$ est un singleton donc fermé, on déduit que $A$ est fermé.