Topologie dans R
dans Topologie
Bonsoir à vous
1- soient E et F deux parties non vides de $\mathbb{R}.$
a- donner la définition de:
-point d'accumulation de E
-E fermé
-E compact.
b- donner une caractérisation par les suites :
- d'un point d'accumulation de E
- d'un compact E
c- Montrer que E est fermé si et seulement si toute suite convergente d'éléments deE a sa limite dans E.
2- on suppose E fermé et F compact. Montrer que E+F est un fermé.
3- on considère $G=\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{p} , n\in \mathbb{N}^* \text{et} p\in \mathbb{N}^* \right\}$
a- montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^* \frac{1}{n}$
est un point d'accumulation de G
b- peut-on dire que 2 est point adhérent à G
c- déterminer l'intérieur de G
Besoin d'aide.
1- soient E et F deux parties non vides de $\mathbb{R}.$
a- donner la définition de:
-point d'accumulation de E
-E fermé
-E compact.
b- donner une caractérisation par les suites :
- d'un point d'accumulation de E
- d'un compact E
c- Montrer que E est fermé si et seulement si toute suite convergente d'éléments deE a sa limite dans E.
2- on suppose E fermé et F compact. Montrer que E+F est un fermé.
3- on considère $G=\left\{\frac{1}{n}+\frac{1}{p} , n\in \mathbb{N}^* \text{et} p\in \mathbb{N}^* \right\}$
a- montrer que pour tout $n\in \mathbb{N}^* \frac{1}{n}$
est un point d'accumulation de G
b- peut-on dire que 2 est point adhérent à G
c- déterminer l'intérieur de G
Besoin d'aide.
Réponses
-
T'as besoin d'aide pour lire ton cours ??? Ou tu bloques à une question particulière ?
-
Mon problème est l'application de ce cours au niveau de la question (c), 2 et 3. Pour le haut je connais les définitions.
-
Quelle définition de fermé tu as (la réponse en dépend) ?
-
La question 2 est presque encore du cours, à mon avis.
Une suite dans $E+F$ s'écrit $(e_n + f_n)$.
Supposons qu'elle converge.
On utilise la caractérisation séquentielle des compacts pour extraire une suite $(f_{\phi(n)})$ convergente.
La limite de $(e_{\phi(n)}+f_{\phi(n)})$ est-elle dans $E+F$ ? -
E est fermé si complementaire dans E est ouvert
-
$\Longrightarrow$
Supposons d'abord que Esoit fermé. On veut montrer que toute suite convergente d'éléments de E a sa limite dans E. Soit a_nune suite convergente d'éléments de E. Appelons l sa limite. Il s'agit de montrer que l appartient à E.
Supposons que l n'appartient pas à E. Cela revient à dire que $l\notin \complement_R^{E}$
je n'arrive pas à continuer. -
marsup écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1624880,1624894#msg-1624894
-[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
S'il te plaît la caractérisation avec les suites d'un fermé s'écrit comment ? -
Donc l est dans un ouvert, qui est un voisinage de l. Donc ... (définition de la limite).Wilfrednbsi a écrit:Supposons d'abord que Esoit fermé. On veut montrer que toute suite convergente d'éléments de E a sa limite dans E. Soit a_nune suite convergente d'éléments de E. Appelons l sa limite. Il s'agit de montrer que l appartient à E.
Supposons que l n'appartient pas à E.
Pour illustrer, prends E=[1;2] et l=0,9, puis dessine une suite qui tend vers l.
Cordialement. -
gerard0 a écrit:Supposons que l n'appartient pas à
Donc l est dans un ouvert, qui est un voisinage de l.
Donc ... (définition de la limite).
Pour illustrer, prends E=[1;2] et l=0,9, puis
dessine une suite qui tend vers l.
Cordialement.
Supposons d'abord que E soit fermé. On veut montrer que toute suite convergente d'éléments de E a sa limite dans E. Soit $a_n$une suite convergente d'éléments de E. Appelons l sa limite. Il s'agit de montrer que l appartient à E.
Supposons que l n'appartient pas à E. Cela revient à dire que $l\in \complement_R^{E}$ ouvert c'est à dire $\exists r\geq 0 / B(l,r)\subset \complement_R^{E}$ or $a_n$ tend vers l donc $a_n\in B(l,r)$ ce qui contredit l'hypothèse de départ et on conclut.
$\Longleftarrow$
Supposons que
toute suite convergente d'éléments de E a sa limite dans E et montrons que E est fermé encore bloqué. -
Boonjour,
Tu manques de rigueur et tu écris n'importe quoi :wilfrednbsi a écrit:or $a_n$ tend vers l donc $a_n\in B(l,r)$
Si \(a_n \) désigne un nombre réel, l'expression « \(a_n\) tend vers \(l\) » n'a aucun sens car la limite d'un nombre réel n'est pas définie.
Si \(a_n\) désigne une suite, c'est alors l'écriture \(a_n\in B(l,r)\) qui n'a aucun sens car les éléments de \(B(l,r)\) ne sont pas des suites. -
Comment faire à partir de là ? ?gb a écrit:Si $(a_n)$ désigne un nombre réel, l'expressio « $a_n$tend vers $l$» n'a aucun sens car la limite d'un nombre réel n'est pas définie.
Si $a_n$désigne une suite, c'est alors l'écriture $a_n\in B(l,r)$qui n'a aucun sens
car les éléments de $B(l,r)$ ne sont pas des suites. -
Une seule méthode : utiliser correctement la définition de la convergence d'une suite en l'écrivant telle qu'elle donnée dans le cours.
-
Je crois que la discussion serait plus productive si tu avais les idées plus claires sur la méthode qu'on cherche à utiliser.
En utilisant la caractérisation séquentielles des fermés de $\R$,
peux-tu nous dire quels ensembles ci-dessous sont fermés ?
$A=[0;1]$
$B=]0;1[$
$C=\Z$ (entiers relatifs)
$D=\R\backslash\Q$ (nombres irrationnels, sachant par exemple que $\sqrt{2}$ est irrationnel.)
$E=[-2;-1] \cup \R_+$ -
wilfrednbsi a écrit:S'il te plaît la caractérisation avec les suites d'un fermé s'écrit comment ?
La caractérisation avec les suites d'un fermé (ou caractérisation séquentielle) est celle de la question 1-c de ton exercice : $E$ est un fermé ssi toute suite convergente d'éléments de $E$ a sa limite dans $E$.
Je complète la remarque de gb : tu confonds la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui est une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$ et les éléments $a_n$ de la suite $(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ qui sont des réels.
Ton idée de démonstration dans ce message ne me semble pas mauvaise (pour autant que je puisse deviner ce que tu as en tête) mais ce que tu écris n'a pas de sens comme te l'a signalé gb. -
marsupécrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,1624880,1625114#msg-1625114
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Pour $A=[0,1]$ elle est fermé,
Pour $B=]0,1[$ elle n'est pas fermé
Pour $C=\Z$ elle est fermé
Pour $D=\R\backslash\Q$ fermé
Pour $E=[-2,-1]\cup \R_+,$ non fermé -
Bonjour.
As-tu vraiment utilisé la "caractérisation séquentielles des fermés " ? Vu qu'il y a des erreurs, ça semble peu probable.
Pour en revenir à ton exercice, ce qui te manquait c'est la définition de la suite $a_n$ tend vers l. Peux-tu la rappeler (cours bien copié, ou livre) ?
Cordialement. -
gerad0
La suite $a_n$ tend vers $l\Longleftrightarrow \forall \epsilon >0,\ \exists N_\epsilon\in \N,\ \forall n\in \N,\ n\geq N_\epsilon \Rightarrow |a_n- l|< \epsilon$.
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Et si tu traduis ça en termes de boules ouvertes (comme tu avais voulu le faire dans ce message) ?
-
michael]
Transformer la définition de la limite d'un suite en boule?? :-S :-S
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
Non, je veux dire : écrire la définition de la limite d'une suite à l'aide des boules ouvertes (comme tu avais voulu l'utiliser dans ce message, c'était juste pour t'aider à faire le lien entre ce que tu viens d'écrire et ce que tu avais voulu faire).
-
OK je le fais!!
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Bonjour!
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