Équivalence des normes en dimension infinie

On prend $(e_i)_{i\in I}$ une base algébrique de notre espace vectoriel. On définit alors deux normes : $$ \|x\|_1=\left\|\sum_{i\in I}a_i e_i\right\|_1=\sum_{i\in I} |a_i|
\qquad\text{et}\qquad
\|x\|_\infty=\left\|\sum_{i\in I}a_i e_i\right\|_\infty=\max_{i\in I} |a_i|.
$$ En considérant (par exemple) la suite $x_n=\sum_{k=1}^n \frac 1 n e_k$ on voit que les deux normes ne sont pas équivalentes.

-Ta question est équivalente à savoir si en dimension infinie il existe des applications linéaires bijectives non continues.
La réponse est oui (et utilise le lemme de Zorn).

-Supposons qu'une telle application $f$ linéaire : bijective et non continue existe.
Si toutes les normes sur ton espace vectoriel $E$ normé de dimension infinie était équivalente...
Alors les deux normes $x\mapsto \|x|\|$ et $x\mapsto \|f(x)\|$ seraient équivalentes mais ce n'est pas possible car $f$ n'est pas continue.

-Comment construire une telle application $f?$

On construit par le lemme de Zorn une base algébrique $(a_{i})_{i\in I}$ de $E.$
Comme $E$ est de dimension finie alors $I$ est infini, en particulier, il existe une partie $J$ incluse dans $I$ aussi puissante que $\mathbb{N}.$
On note alors la famille $(a_{i})_{i\in J}:=(a_{\phi(j)})_{j\in \mathbb{N}}$ où $\phi$ est une bijection de $\mathbb{N}$ sur $J.$
On considère alors la nouvelle base $b_{i}=2^{j}a_{i}$ si $i=\phi(j)$ ($i$ appartient à $J$) et $b_{i}=a_{i}$ si $i$ appartient à $I\setminus J.$
Alors l'application (étendue par linéarité, on ne prescrit que l'image d'une base) $f : a_{i} \mapsto b_{i}$ est un isomorphisme non continu et le tour est joué!

Si tu relis bien tu verras que c'est correct : $b_{i}=2^{j}a_{i}$.

L'application $f$ de BobbyJoe n'est pas continue car $\displaystyle \sup_{i\in I}\frac{\|f(a_i)\|}{\|a_i\|}=+\infty$.