Partie ni ouverte ni fermée de $\mathbb{R^2}$

TaliZorah · March 2018

Bonjour à tous. Voilà j'aimerais savoir si j'ai le droit d'identifier la partie suivante :

$A = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R^2} \mid x^2+y^2 = 1,\ y > 0 \right \}$ à la partie : $[0,1[\times]0;1]$ de $\mathbb R^2$

En arguant bien entendu que $A$ est l'ensemble des : $\left \{ (x,\sqrt{1-x^2}) \mid x \in [0,1[ \right \}$ afin de satisfaire la condition sur $y$ ?

Chalk · March 2018

A priori non, mais ça dépend ce que tu appelles "identifier".

gb · March 2018

Bonjour,

Les ensembles $A$ et $[0,1[\times]0,1]$ sont distincts et aucun des deux n'est inclus dans l'autre :
— $(-3/5,4/5)$ appartient au premier, mais au second ;
— $(1/2,1/2)$ appartient au second, mais pas au premier.

Quelle serait le point de vue qui permettrait de les identifier ?

TaliZorah · March 2018

Non je ne vois pas comment je ne peux pas identifier $A$ à $ \left \{ (x,\sqrt{1-x^2}) \mid x \in [0,1[ \right \}$ ça me semble pourtant évident.

Puisque : $\left \{ (x,y) \in \mathbb{R^2} \mid x^2 + y^2 = 1, y >0 \right \} = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R^2} \mid y = \sqrt{1-x^2} \right \}$ à moins que ça soit précisément ici que je me trompe.

Chalk · March 2018

Quelle est ta définition "d'identifier" ? Si tu ne définis pas les termes que tu utilises on ne va pas s'en sortir.

En tout cas tes deux parties ne sont même pas homéomorphes.

Par ailleurs ton égalité ci-dessus est fausse, ta racine carrée n'a même pas de sens pour $x^2>1$.

TaliZorah · March 2018

Lorsque je dis "identifier" un ensemble à un autre c'est appliquer la relation d'égalité à ces deux ensemble, et oui j'ai oublier de précier que $x \in [0,1[$ simple oubli de ma part j'en suis désolé.

Chalk · March 2018

Bah dessine ton ensemble A, qui est un demi cercle, et dis nous si tu trouves qu'il ressemble vraiment à un carré plein.

Par ailleurs si tu veux dire "égaux" dis égaux. Ça sert à rien d'utiliser des termes compliqués comme "identifier" alors que ça n'a pas le sens que tu lui prêtes.

TaliZorah · March 2018

Oui l'ensemble $A$ est un demi cercle de centre l'origine et de rayon 1... Mais l'égalité suivante reste juste non ?

$ A = \left \{ (x,y) \in [0,1[ \times ]0,1] \mid y = \sqrt{1-x^2} \right \}$

Chalk · March 2018

Non, $x$ peut être négatif dans ton ensemble $A$.

Et quand bien même ce serait juste, ça n'a aucun rapport avec un quelconque pavé (carré rempli).

En règle général, $\{x\in E \mid P(x)\}$ n'a aucune raison d'être égal à $E$, si c'est là ta confusion. C'est un sous-ensemble de $E$, généralement strict.

TaliZorah · March 2018

Oui très bien je vois enfin mon erreur, je ne sais pas pourquoi j'ai voulu m'entêter à faire correspondre cette partie à un pavé. Je vais me débrouiller autrement donc pour démontrer le résultat cherché. Merci quand même de votre aide et surtout de votre patience.

gb · March 2018

On ne saura jamais le rapport avec le titre de la question…

Chalk · March 2018

$A$ n'est ni ouvert ni fermé dans $\R^2$, mais bon ça n'a effectivement aucun rapport.

TaliZorah · March 2018

Bien si, le rapport est que le but était de démontrer que la partie $A$ n'est ni ouverte ni fermée, ma "méthode" ne fonctionne pas comme on l'a vue car basée sur un raisonnement qui est faux au départ. .

Chalk · March 2018

Ah c'est ça ton vrai problème ?

Le fait que $A$ n'est pas ouvert c'est simple : trouve une suite qui converge vers un élément de $A$ (par exemple $(0,1)$), sans jamais appartenir à $A$.

Pour non fermé c'est aussi simple, trouve une suite de $A$ qui converge vers $(1,0) \notin A$.

Y'a bien sûr d'autres façons de faire, mais j'aime bien les critères séquentiels.