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Petite question de connexité dans C

Envoyé par Mililine 
Petite question de connexité dans C
l’an passé
Bonjour,

En voulant montrer que l'ensemble des applications méromorphes sur un ouvert connexe est doté naturellement d'une structure de corps et en voulant plus particulièrement appliquer le principe des zéros isolés à une application, je suis arrivée à la question suivante.

Étant donné un ouvert connexe $U$ de $\mathbf{C}$ et un fermé discret $P$ de $U$, $U\setminus P$ serait-il encore connexe?

Ne voyant pas comment utiliser les propriétés connues pour montrer qu'une partie est connexe (union, image d'un connexe par une application continue), j'ai essayé de le montrer avec la définition de connexité mais je ne suis pas allée bien loin ! Peut-être pourrait-on se servir du fait que $P$ est au plus dénombrable ?...

Bref si quelqu'un veut m'aider il est le bienvenu :)



Edité 2 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Mililine.
ev
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
avatar
Bonjour Mililine.

Dans $\C$, il est équivalent pour un ouvert d'être connexe et d'être connexe par arcs.

e.v.
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
Ah ! oui ! On fixe un point $z_0\in U\setminus P$ et pour tout autre point $z$, on trace un chemin de $z_0$ à $z$ dans $U$ ; si ce chemin passe par des points de $P$, ils sont en nombre fini et on peut les contourner en faisant un petit détour. C'est ce que tu veux dire ?
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
Moi, je prendrais $V$ un ouvert fermé non-vide de $U \setminus P$, et je regarderais si l'adhérence dans $U$ de $V$ ne serait pas, par hasard, un ouvert.



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par AD.
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
Merci Marsup!

En effet si c'est le cas mon problème serait réglé. En effet, soit $V$ une partie ouverte et fermée de $U\backslash P$ non vide. On veut montrer que $V=U\backslash P$. Si $\mathrm{Adh}_U V$ est un ouvert de $U$ alors $\mathrm{Adh}_U V$ est un ouvert et un fermé non vide (car $V\neq \emptyset$) de $U$ donc $\mathrm{Adh}_U V=U$ (comme $U$ est connexe) et on a ainsi : $$V=\mathrm{Adh}_{U\backslash P} V=(\mathrm{Adh}_{U} V)\cap (U\backslash P)=U\cap (U\backslash P)=U\backslash P$$ et on a bien $V=U\backslash P$ ce qu'on voulait montrer.

Le problème c'est que je n'arrive pas à montrer que $\mathrm{Adh}_U V$ est un ouvert de $U$! En effet,soit $x\in \mathrm{Adh}_U V$. On veut montrer que $x$ est à l'intérieur de $\mathrm{Adh}_U V$. Si $x\notin P$ c'est ok car alors $$x\in \mathrm{Adh}_{U\backslash P} V=V=\mathrm{Int}_{U\backslash P} V=\mathrm{Int}_{U} V\subseteq \mathrm{Int}_{U} (\mathrm{Adh}_U V)$$ (pour l'égalité des deux intérieurs : puisque $U\backslash P$ est un ouvert de $U$ car $P$ est un fermé de $U$). Le problème c'est si $x\in P$??! Il doit falloir utiliser que $P$ est discret (sinon on ne l'utiliserait pas) mais je ne vois pas comment confused smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Mililine.
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
Merci ev, c'est vrai! On pourrait donc plutôt montrer que $U\backslash P$ est connexe par arcs (et en fait, comme $P$ est au plus dénombrable je sais le faire si $U=\mathbf{C}$).

Et je comprends donc l'idée de Math Coss (merci) mais ce qui me gêne c'est que certes le chemin en question ne va pouvoir passer que par un ensemble fini de points de $P$ mais il peut passer une infinité de fois sur le même point de $P$ ce qui complique la chose, non?



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par Mililine.
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
On se donne un chemin $\gamma:[0,1]\to U$ tel que $\gamma(0)=z_0$ et $\gamma(1)=z\in U\setminus P$ (préalablement fixés). Soit $p\in P$ un point par lequel passe $\gamma$. Cela veut dire que $A=\{t\in[0,1],\ \gamma(t)=p\}$ n'est pas vide. Comme c'est un fermé (par continuité de $\gamma$), $a=\inf(A)$ et $b=\sup(A)$ sont dans $A$. On peut recoller les restrictions de $\gamma$ à $[0,a]$ et $[b,1]$ ($\gamma(a)=\gamma(b)=p$) pour obtenir un chemin qui ne passe qu'une seule fois par $p$ et relie toujours $z_0$ et $z$.
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
J'essaie de terminer ton raisonnement, Mililine.

Si $x \in Adh_U(V) \cap P$, alors $V$ rencontre un petit disque épointé $D$ centré en $x$ (assez petit pour isoler $x$ !)

Mais alors $D \cap V$ est un ouvert fermé de $D$.

Comme $D$ est connexe (on utilise que $\C$ est localement connexe !), on a donc $D \cap V = V$

Ainsi $D \subset V$, soit : $x$ est intérieur à $Adh_{U}(V)$.

J'espère n'avoir pas dit de bêtise !



Edité 1 fois. La dernière correction date de l’an passé et a été effectuée par marsup.
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
Montrons que $U \setminus P$ est connexe par arcs si $U$ l'est, et ce, pour tout connexe $U$ et toute partie dénombrable $P$. Soient $a,b \in U\setminus P$. Je prétends qu'il existe un application $\phi : R := ]-1,1[ \times [0,1] \rightarrow U$ qui est un homéomorphisme sur son image. Pour cela, on peut prendre une ligne brisée qui rejoint $a$ et $b$ et prendre des voisinages quadrilatères-par-morceaux d'une telle ligne brisée.
Maintenant, il est clair que dans $R$, il existe une famille $(c_\alpha)_{\alpha}$ de courbes paramétrée par $\mathbb{R}$ qui sont telles que $\forall \alpha,\quad c_\alpha(0) = (0,0)$ et $\forall \alpha,\quad c_\alpha(1) = (0,1)$ et telles que pour $\alpha \not = \beta$, $c_\alpha$ et $c_\beta$ ne se rencontrent qu'en $(0,0)$ et $(0,1)$ (il suffit par exemple de prendre une famille continue d'arcs de cercles joignant $(0,0)$ à $(0,1)$). Par cardinalité, il existe $\alpha$ tel que $c_\alpha$ ne rencontre aucun des points de $\phi^{-1}(P)$. Alors $\phi \circ c_\alpha$ est une courbe joignant $a$ à $b$ qui ne rencontre aucun point de $P$.
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
Merci Marsup ! Pour être sûr "de ne pas raconter de bêtises", j'ai bien détaillé et ça m'a l'air correct! :) :

Soit $x\in \mathrm{Adh}_U V\cap P$.

Comme $x$ est un point isolé de $P$, il existe $r\in \mathbb{R}_+^* $ tel que $B(x,r)\cap P=\{x\}$.

Comme $U$ est un ouvert de $\mathbf{C} $, on peut supposer que $B(x,r)\subseteq U$.

Posons $D:=B(x,r)\backslash \{x\} $. On a donc $D\subseteq U\backslash P$.

Montrons que $D\cap V$ est un ouvert et un fermé de $D$. Comme $V$ est un fermé de $U\backslash P$, il existe un fermé $L$ de $\mathbf{C}$ tel que $V=L\cap (U\backslash P)$. On a alors $D\cap V=D\cap L\cap (U\backslash P)= D\cap L$ (comme $D \subseteq U\backslash P $). D'où $D\cap V$ est un fermé de $D$. On montre de même que $D\cap V$ est un ouvert de $D$.

Ainsi, comme $D\cap V\neq \emptyset$ (car $x\in \mathrm{Adh}_{U} V$ et $B(x,r) \in \mathcal{V}_{U}(x) $ et $x\notin V$) et $D$ est connexe, on a $D\cap V=D$. D'où $D\subseteq V$. Ainsi, on a $B(x,r)\subseteq V\cup \{x\}$. D'où $x\in \mathrm{Int}_{U}\,\mathrm{Adh}_{U}V$.
Re: Petite question de connexité dans C
l’an passé
Merci Math Coss, là maintenant je suis convaincue!

Merci Georges Abitbol, cette démonstration en construisant des chemins qui ne se rencontrent qu'aux extrémités $a$ et $b$ et où on dit qu'il y en a forcément un qui ne passe dans $P$ (sinon $P$ serait infini non dénombrable) correspond à la preuve à laquelle je pensais si $U=\mathbf{C} $ mais je n'arrivais pas à la généraliser ;)
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