Merci Marsup ! Pour être sûr "de ne pas raconter de bêtises", j'ai bien détaillé et ça m'a l'air correct! :) :
Soit $x\in \mathrm{Adh}_U V\cap P$.
Comme $x$ est un point isolé de $P$, il existe $r\in \mathbb{R}_+^* $ tel que $B(x,r)\cap P=\{x\}$.
Comme $U$ est un ouvert de $\mathbf{C} $, on peut supposer que $B(x,r)\subseteq U$.
Posons $D:=B(x,r)\backslash \{x\} $. On a donc $D\subseteq U\backslash P$.
Montrons que $D\cap V$ est un ouvert et un fermé de $D$. Comme $V$ est un fermé de $U\backslash P$, il existe un fermé $L$ de $\mathbf{C}$ tel que $V=L\cap (U\backslash P)$. On a alors $D\cap V=D\cap L\cap (U\backslash P)= D\cap L$ (comme $D \subseteq U\backslash P $). D'où $D\cap V$ est un fermé de $D$. On montre de même que $D\cap V$ est un ouvert de $D$.
Ainsi, comme $D\cap V\neq \emptyset$ (car $x\in \mathrm{Adh}_{U} V$ et $B(x,r) \in \mathcal{V}_{U}(x) $ et $x\notin V$) et $D$ est connexe, on a $D\cap V=D$. D'où $D\subseteq V$. Ainsi, on a $B(x,r)\subseteq V\cup \{x\}$. D'où $x\in \mathrm{Int}_{U}\,\mathrm{Adh}_{U}V$.