Petite question de connexité dans C

Réponses

• ev

  March 2018

  Bonjour Mililine.
  
  Dans $\C$, il est équivalent pour un ouvert d'être connexe et d'être connexe par arcs.
  
  e.v.

  Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
  
  
  
• Math Coss

  March 2018

  Ah ! oui ! On fixe un point $z_0\in U\setminus P$ et pour tout autre point $z$, on trace un chemin de $z_0$ à $z$ dans $U$ ; si ce chemin passe par des points de $P$, ils sont en nombre fini et on peut les contourner en faisant un petit détour. C'est ce que tu veux dire ?
• marsup

  March 2018

  Moi, je prendrais $V$ un ouvert fermé non-vide de $U \setminus P$, et je regarderais si l'adhérence dans $U$ de $V$ ne serait pas, par hasard, un ouvert.
• Mililine

  March 2018

  Merci Marsup!
  
  En effet si c'est le cas mon problème serait réglé. En effet, soit $V$ une partie ouverte et fermée de $U\backslash P$ non vide. On veut montrer que $V=U\backslash P$. Si $\mathrm{Adh}_U V$ est un ouvert de $U$ alors $\mathrm{Adh}_U V$ est un ouvert et un fermé non vide (car $V\neq \emptyset$) de $U$ donc $\mathrm{Adh}_U V=U$ (comme $U$ est connexe) et on a ainsi : $$V=\mathrm{Adh}_{U\backslash P} V=(\mathrm{Adh}_{U} V)\cap (U\backslash P)=U\cap (U\backslash P)=U\backslash P$$ et on a bien $V=U\backslash P$ ce qu'on voulait montrer.
  
  Le problème c'est que je n'arrive pas à montrer que $\mathrm{Adh}_U V$ est un ouvert de $U$! En effet,soit $x\in \mathrm{Adh}_U V$. On veut montrer que $x$ est à l'intérieur de $\mathrm{Adh}_U V$. Si $x\notin P$ c'est ok car alors $$x\in \mathrm{Adh}_{U\backslash P} V=V=\mathrm{Int}_{U\backslash P} V=\mathrm{Int}_{U} V\subseteq \mathrm{Int}_{U} (\mathrm{Adh}_U V)$$ (pour l'égalité des deux intérieurs : puisque $U\backslash P$ est un ouvert de $U$ car $P$ est un fermé de $U$). Le problème c'est si $x\in P$??! Il doit falloir utiliser que $P$ est discret (sinon on ne l'utiliserait pas) mais je ne vois pas comment :-S
• Mililine

  March 2018

  Merci ev, c'est vrai! On pourrait donc plutôt montrer que $U\backslash P$ est connexe par arcs (et en fait, comme $P$ est au plus dénombrable je sais le faire si $U=\mathbf{C}$).
  
  Et je comprends donc l'idée de Math Coss (merci) mais ce qui me gêne c'est que certes le chemin en question ne va pouvoir passer que par un ensemble fini de points de $P$ mais il peut passer une infinité de fois sur le même point de $P$ ce qui complique la chose, non?
• Math Coss

  March 2018

  On se donne un chemin $\gamma:[0,1]\to U$ tel que $\gamma(0)=z_0$ et $\gamma(1)=z\in U\setminus P$ (préalablement fixés). Soit $p\in P$ un point par lequel passe $\gamma$. Cela veut dire que $A=\{t\in[0,1],\ \gamma(t)=p\}$ n'est pas vide. Comme c'est un fermé (par continuité de $\gamma$), $a=\inf(A)$ et $b=\sup(A)$ sont dans $A$. On peut recoller les restrictions de $\gamma$ à $[0,a]$ et $[b,1]$ ($\gamma(a)=\gamma(b)=p$) pour obtenir un chemin qui ne passe qu'une seule fois par $p$ et relie toujours $z_0$ et $z$.
• marsup

  March 2018

  J'essaie de terminer ton raisonnement, Mililine.
  
  Si $x \in Adh_U(V) \cap P$, alors $V$ rencontre un petit disque épointé $D$ centré en $x$ (assez petit pour isoler $x$ !)
  
  Mais alors $D \cap V$ est un ouvert fermé de $D$.
  
  Comme $D$ est connexe (on utilise que $\C$ est localement connexe !), on a donc $D \cap V = V$
  
  Ainsi $D \subset V$, soit : $x$ est intérieur à $Adh_{U}(V)$.
  
  J'espère n'avoir pas dit de bêtise !
• Georges Abitbol

  March 2018

  Montrons que $U \setminus P$ est connexe par arcs si $U$ l'est, et ce, pour tout connexe $U$ et toute partie dénombrable $P$. Soient $a,b \in U\setminus P$. Je prétends qu'il existe un application $\phi : R := ]-1,1[ \times [0,1] \rightarrow U$ qui est un homéomorphisme sur son image. Pour cela, on peut prendre une ligne brisée qui rejoint $a$ et $b$ et prendre des voisinages quadrilatères-par-morceaux d'une telle ligne brisée.
  Maintenant, il est clair que dans $R$, il existe une famille $(c_\alpha)_{\alpha}$ de courbes paramétrée par $\mathbb{R}$ qui sont telles que $\forall \alpha,\quad c_\alpha(0) = (0,0)$ et $\forall \alpha,\quad c_\alpha(1) = (0,1)$ et telles que pour $\alpha \not = \beta$, $c_\alpha$ et $c_\beta$ ne se rencontrent qu'en $(0,0)$ et $(0,1)$ (il suffit par exemple de prendre une famille continue d'arcs de cercles joignant $(0,0)$ à $(0,1)$). Par cardinalité, il existe $\alpha$ tel que $c_\alpha$ ne rencontre aucun des points de $\phi^{-1}(P)$. Alors $\phi \circ c_\alpha$ est une courbe joignant $a$ à $b$ qui ne rencontre aucun point de $P$.
• Mililine

  March 2018

  Merci Marsup ! Pour être sûr "de ne pas raconter de bêtises", j'ai bien détaillé et ça m'a l'air correct! :
  
  Soit $x\in \mathrm{Adh}_U V\cap P$.
  
  Comme $x$ est un point isolé de $P$, il existe $r\in \mathbb{R}_+^* $ tel que $B(x,r)\cap P=\{x\}$.
  
  Comme $U$ est un ouvert de $\mathbf{C} $, on peut supposer que $B(x,r)\subseteq U$.
  
  Posons $D:=B(x,r)\backslash \{x\} $. On a donc $D\subseteq U\backslash P$.
  
  Montrons que $D\cap V$ est un ouvert et un fermé de $D$. Comme $V$ est un fermé de $U\backslash P$, il existe un fermé $L$ de $\mathbf{C}$ tel que $V=L\cap (U\backslash P)$. On a alors $D\cap V=D\cap L\cap (U\backslash P)= D\cap L$ (comme $D \subseteq U\backslash P $). D'où $D\cap V$ est un fermé de $D$. On montre de même que $D\cap V$ est un ouvert de $D$.
  
  Ainsi, comme $D\cap V\neq \emptyset$ (car $x\in \mathrm{Adh}_{U} V$ et $B(x,r) \in \mathcal{V}_{U}(x) $ et $x\notin V$) et $D$ est connexe, on a $D\cap V=D$. D'où $D\subseteq V$. Ainsi, on a $B(x,r)\subseteq V\cup \{x\}$. D'où $x\in \mathrm{Int}_{U}\,\mathrm{Adh}_{U}V$.
• Mililine

  March 2018

  Merci Math Coss, là maintenant je suis convaincue!
  
  Merci Georges Abitbol, cette démonstration en construisant des chemins qui ne se rencontrent qu'aux extrémités $a$ et $b$ et où on dit qu'il y en a forcément un qui ne passe dans $P$ (sinon $P$ serait infini non dénombrable) correspond à la preuve à laquelle je pensais si $U=\mathbf{C} $ mais je n'arrivais pas à la généraliser