Petite question de connexité dans C
Bonjour,
En voulant montrer que l'ensemble des applications méromorphes sur un ouvert connexe est doté naturellement d'une structure de corps et en voulant plus particulièrement appliquer le principe des zéros isolés à une application, je suis arrivée à la question suivante.
Étant donné un ouvert connexe $U$ de $\mathbf{C}$ et un fermé discret $P$ de $U$, $U\setminus P$ serait-il encore connexe?
Ne voyant pas comment utiliser les propriétés connues pour montrer qu'une partie est connexe (union, image d'un connexe par une application continue), j'ai essayé de le montrer avec la définition de connexité mais je ne suis pas allée bien loin ! Peut-être pourrait-on se servir du fait que $P$ est au plus dénombrable ?...
Bref si quelqu'un veut m'aider il est le bienvenu
En voulant montrer que l'ensemble des applications méromorphes sur un ouvert connexe est doté naturellement d'une structure de corps et en voulant plus particulièrement appliquer le principe des zéros isolés à une application, je suis arrivée à la question suivante.
Étant donné un ouvert connexe $U$ de $\mathbf{C}$ et un fermé discret $P$ de $U$, $U\setminus P$ serait-il encore connexe?
Ne voyant pas comment utiliser les propriétés connues pour montrer qu'une partie est connexe (union, image d'un connexe par une application continue), j'ai essayé de le montrer avec la définition de connexité mais je ne suis pas allée bien loin ! Peut-être pourrait-on se servir du fait que $P$ est au plus dénombrable ?...
Bref si quelqu'un veut m'aider il est le bienvenu
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Réponses
Dans $\C$, il est équivalent pour un ouvert d'être connexe et d'être connexe par arcs.
e.v.
En effet si c'est le cas mon problème serait réglé. En effet, soit $V$ une partie ouverte et fermée de $U\backslash P$ non vide. On veut montrer que $V=U\backslash P$. Si $\mathrm{Adh}_U V$ est un ouvert de $U$ alors $\mathrm{Adh}_U V$ est un ouvert et un fermé non vide (car $V\neq \emptyset$) de $U$ donc $\mathrm{Adh}_U V=U$ (comme $U$ est connexe) et on a ainsi : $$V=\mathrm{Adh}_{U\backslash P} V=(\mathrm{Adh}_{U} V)\cap (U\backslash P)=U\cap (U\backslash P)=U\backslash P$$ et on a bien $V=U\backslash P$ ce qu'on voulait montrer.
Le problème c'est que je n'arrive pas à montrer que $\mathrm{Adh}_U V$ est un ouvert de $U$! En effet,soit $x\in \mathrm{Adh}_U V$. On veut montrer que $x$ est à l'intérieur de $\mathrm{Adh}_U V$. Si $x\notin P$ c'est ok car alors $$x\in \mathrm{Adh}_{U\backslash P} V=V=\mathrm{Int}_{U\backslash P} V=\mathrm{Int}_{U} V\subseteq \mathrm{Int}_{U} (\mathrm{Adh}_U V)$$ (pour l'égalité des deux intérieurs : puisque $U\backslash P$ est un ouvert de $U$ car $P$ est un fermé de $U$). Le problème c'est si $x\in P$??! Il doit falloir utiliser que $P$ est discret (sinon on ne l'utiliserait pas) mais je ne vois pas comment :-S
Et je comprends donc l'idée de Math Coss (merci) mais ce qui me gêne c'est que certes le chemin en question ne va pouvoir passer que par un ensemble fini de points de $P$ mais il peut passer une infinité de fois sur le même point de $P$ ce qui complique la chose, non?
Si $x \in Adh_U(V) \cap P$, alors $V$ rencontre un petit disque épointé $D$ centré en $x$ (assez petit pour isoler $x$ !)
Mais alors $D \cap V$ est un ouvert fermé de $D$.
Comme $D$ est connexe (on utilise que $\C$ est localement connexe !), on a donc $D \cap V = V$
Ainsi $D \subset V$, soit : $x$ est intérieur à $Adh_{U}(V)$.
J'espère n'avoir pas dit de bêtise !
Maintenant, il est clair que dans $R$, il existe une famille $(c_\alpha)_{\alpha}$ de courbes paramétrée par $\mathbb{R}$ qui sont telles que $\forall \alpha,\quad c_\alpha(0) = (0,0)$ et $\forall \alpha,\quad c_\alpha(1) = (0,1)$ et telles que pour $\alpha \not = \beta$, $c_\alpha$ et $c_\beta$ ne se rencontrent qu'en $(0,0)$ et $(0,1)$ (il suffit par exemple de prendre une famille continue d'arcs de cercles joignant $(0,0)$ à $(0,1)$). Par cardinalité, il existe $\alpha$ tel que $c_\alpha$ ne rencontre aucun des points de $\phi^{-1}(P)$. Alors $\phi \circ c_\alpha$ est une courbe joignant $a$ à $b$ qui ne rencontre aucun point de $P$.
Soit $x\in \mathrm{Adh}_U V\cap P$.
Comme $x$ est un point isolé de $P$, il existe $r\in \mathbb{R}_+^* $ tel que $B(x,r)\cap P=\{x\}$.
Comme $U$ est un ouvert de $\mathbf{C} $, on peut supposer que $B(x,r)\subseteq U$.
Posons $D:=B(x,r)\backslash \{x\} $. On a donc $D\subseteq U\backslash P$.
Montrons que $D\cap V$ est un ouvert et un fermé de $D$. Comme $V$ est un fermé de $U\backslash P$, il existe un fermé $L$ de $\mathbf{C}$ tel que $V=L\cap (U\backslash P)$. On a alors $D\cap V=D\cap L\cap (U\backslash P)= D\cap L$ (comme $D \subseteq U\backslash P $). D'où $D\cap V$ est un fermé de $D$. On montre de même que $D\cap V$ est un ouvert de $D$.
Ainsi, comme $D\cap V\neq \emptyset$ (car $x\in \mathrm{Adh}_{U} V$ et $B(x,r) \in \mathcal{V}_{U}(x) $ et $x\notin V$) et $D$ est connexe, on a $D\cap V=D$. D'où $D\subseteq V$. Ainsi, on a $B(x,r)\subseteq V\cup \{x\}$. D'où $x\in \mathrm{Int}_{U}\,\mathrm{Adh}_{U}V$.
Merci Georges Abitbol, cette démonstration en construisant des chemins qui ne se rencontrent qu'aux extrémités $a$ et $b$ et où on dit qu'il y en a forcément un qui ne passe dans $P$ (sinon $P$ serait infini non dénombrable) correspond à la preuve à laquelle je pensais si $U=\mathbf{C} $ mais je n'arrivais pas à la généraliser