Bijection continue du plan

Pour n'importe quelle distance, non certainement pas !

Je pense que tu sais que deux ensembles espaces métriques peuvent être liés par une bijection continue sans être homéomorphes pour autant.

L'exemple canonique est apparemment $[0;2\pi[$ et le cercle unité $\mathbb{S}^1$, via : $\theta \mapsto e^{i\theta}$.

Exercice :
Montrer que le cercle $\mathbb{S}^1 \sim [0;2\pi[$ pour la distance :
$
d(x,x') = \min(|x-x'|,\big|2\pi-|x-x'|\big|)$.

Recréons ce contre-exemple au beau milieu de $\R^2$ !
Munissons $\R^2$ de la distance :

$$d\big[
(x,t),(x',t')
\big]
=
\left\{
\begin{array}{cl}
0 & \text{ si } x=x', t=t' \\
|x-x'| & \text{ si } 0 \leqslant x,x' < 2\pi, t=t'=0 \\
\min(|x-x'|,\big|2\pi-|x-x'|\big|) & \text{ si } 0 \leqslant x,x' < 2\pi, t=t'=1 \\
1 & \text{ sinon }
\end{array}
\right.
$$

Alors l'application $(x,t) \mapsto (x,t+1)$ est continue et bijective, mais pas un homéo !

Sa réciproque n'est en effet pas continue en $(0,1)$ !!