Projections pour la topologie de Zariski

aleph0
aleph0
dans Topologie
Bonjour,

J'aimerais savoir pourquoi les projections pour la topologie de Zariski sont continues et ouvertes. Plus précisément, je parle des espaces affines sur un corp algébriquement clos de dimension finie munis de la topologie de Zariski pour laquelles les fermés sont des solutions des systèmes d'équations polynomiales.

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Tu pourrais préciser ce que tu appelles projection dans ce contexte ?
  • aleph0
    aleph0
    Par exemple la projection $X\times Y \rightarrow X$, où $X$ et $Y$ sont des variétés algébriques. On sait que la topologie de Zariski sur $X\times Y$ n'est pas la topologie produit de $X$ et $Y$ munis de la topologie de Zariski.

    Edit: Je parle des variétés algébriques affines
  • killersmile38
    killersmile38
    La continuité de la projection revient à voir que si $F$ est un fermé de $X$, $F\times Y$ est un fermé de $X\times Y$.

    Or, si on regarde les équations polynomiales définissant $X,Y$ et $F$ comme des équations polynomiales à $n+m$ indéterminées, on voit que $F\times Y$ est l'ensemble des $(x,y)$ tels que $x$ est un zéro commun des équations définissant $F$. C'est donc bien un fermé.
  • aleph0
    aleph0
    Tu as raison. Merci.
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