Bonjour,
Soit $\Omega$ un ensemble dénombrable, et soit $(A_i)_{i\in \mathbb N^*}$ une famille d'ensembles disjoints deux à deux (ce qui est l'équivalent de mutuellement disjoints) avec $A_i \subset \Omega$.
Est-ce que $\quad\bigcup_{i \in \mathbb N^*}A_i=\Omega$ ?
Réponses
$\Omega = \Z$ et $A_i = \{i\}$ pour $i \in \N^\star$.
Prenons deux exemples :
Ceci dit Bruce tu n'as pas dû beaucoup réfléchir. Si ton résultat était vrai, que se passerait-il si tu ajoutais un seul élément à $\Omega$, tout en considérant les mêmes ensembles $A_i$ ?
Exemple : $\cup_{n\in\mathbb N^*} \{n\} = \mathbb N^*$, mais $\cup_{n\in\mathbb N^*} \{n\} \subsetneq \mathbb N$.
Tu réponds trop vite, tu ne demandes aux $A_i$ que de n'être inclus dans ton ensemble $\Omega$ et d'être disjoints. Imaginons que leur union fasse $\Omega$. Bah si je "grossis" $\Omega$ en $\Omega'$, ils vont toujours être inclus dedans a fortiori, et le fait d'être disjoints n'a aucun rapport avec $\Omega$ donc ils restent disjoints. Et pourtant l'union ne peut pas être à la fois égale à $\Omega$ et à $\Omega'$.
Je parirais sur une histoire de connexité.
[Arrête d'envoyer systématiquement deux messages courts. Dernier avertissement. Poirot]
j'avais besoin de ce "faux" résultat pour dire que par passage à la limite on a les $A_i$ qui forme un système complet, mais bon j'ai échoué
Tu n'es pas convaincu par la formule des probabilités totales ?
Je pourrais l'écrire de manière moins savante mais là je suis sur mon téléphone et ça demanderait plus de Latex ...