Convexe fermé et projection

Bonjour,

Voici un exercice dont j'ai la correction.

Soit $E$ un espace vectoriel normé.
Soit $B = \{x \in E, ||x|| \leq 1 \}$, qui est un convexe fermé de $E$.
Si $E$ est un espace d'Hilbert, déterminer une expression de la projection sur la boule unité fermée de $E$.

Je sais que la définition de la projection sur un convexe fermé est la suivante :
$\forall y \in B, ||x-P_B(x)|| \leq ||x-y||$ avec $P_B(x) : E \rightarrow B$.

On me dit que $P_B(x) = \dfrac{x}{||x||}$ si $||x|| \geq 1$ et que $P_B(x) = x$ si $||x|| \leq 1$.
Pouvez-vous m'expliquer ce résultat pour m'aider à avancer ?

Merci beaucoup d'avance...