Notion de seuil

Bonjour Gerard,

Merci d'avoir consacré du temps à ma question. J'enchaîne sur ton exemple avec $\mathbb N$ en le développant jusqu'au bout.

En partant là, j'en déduis la topologie engendrée suivante $(\mathbb N, T=\{\emptyset, \mathbb N, Pair\})$. Puis, par exemple, les voisinages de $4$ sont $Pair$ et $\mathbb N$ avec $Pair \subset \mathbb N$. Suivant mon raisonnement, j'obtiens alors que les entiers dans $Pair$ sont plus proches de $4$ que les entiers dans $Impair=\mathbb N/Pair$. Sauf que, $3$ et $5$ sont "plus proches" de $4$ que n'importe quel entiers dans $Pair$. C'est bien dans ce sens là que je dois interpréter ta phrase ?

Je dirais que le choix des ouverts est une définition de la proximité, donc lorsque l'on parles de proximité de $3$ et $5$ par rapport à $4$, cette proximité n'est pas modélisé via la topologie $T$ défini plus haut. C'est la raison pour laquelle j'ai mis "plus proches" entre quotes. Qu'en pense-tu ?

EDIT: en fait, de toutes façon si j'ajoute $\{3,4,5\}$ aux ouverts, j'aurais toujours le problème. Je réfléchi encore mais je pense qu'on à fait le tour.

Cordialement.

Bonjour sjkyffer3, merci de t'être joint à la discussion.

@sjkyffer3: Quand je dit que la façon de raisonner n'est pas la même en topologie et en métrique, c'est bien parce que dans les espaces métriques, ont a des simplifications qui modifient la forme des propositions et la façon de s'en servir (on a des raccourcis). Le sens, lui, n'a pas été modifié. Nos pensées se rejoignent sur ce point particulier ?

@gerard0: Mais au contraire, si j'ai une construction mentale qui traduit bien la notion de "plus près de" au niveau des espaces topologiques, ça m'embête d'abandonner cela. Sauf si tu me trouves de nouveau un contre-exemple qui brise mon analogie :-o. Mon objectif dans cette discussion est justement de tester sa robustesse ! Voici ce que ça donne au niveau de la continuité :

Soit $(E_{1},T_{1})$ et $(E_{2},T_{2})$ deux espaces topologiques, $x$ un point de $E_{1}$, $f: E_{1} \rightarrow E_{2}$.
Soit $V_{1}$, $V_{2}$, $V_{3}$ des voisinages de $f(x)$ tels que $V_{1} \subset V_{2} \subset V_{3}$. On à alors:

• $f^{-1}(V_{1})$, $f^{-1}(V_{2})$, $f^{-1}(V_{3})$, sont des voisinages de $x$, (par définition).
• $f^{-1}(V_{1}) \subset f^{-1}(V_{2}) \subset f^{-1}(V_{3})$, (trivialement).

Autrement dit, moins il y a de points dans le voisinage de $f(x)$, moins il y a de points dans le voisinage de $x$. Ce qu'on peux résumer à: plus on "est près" de $x$, plus on "est près" de $f(x)$. De la mon idée de finesse d'un voisinage. On retrouve ainsi une idée de continuité proche de l'intuition. Comme tu le dit, dans la définition des espaces métriques, cette manière d'être "près" est justement liée à la distance et une base décroissante de voisinage alors que dans les espaces topologique, on ne précise rien, on dit simplement "$\forall V $" voisinage (on a généralisé tout ce qui a trait à la distance).

On est bien d'accord, concernant la limite: on "s'approche" de l'intersection de tous les voisinages d'un point, qui n'est pas forcément un point en topologie.

Cordialement.

C'est d'accord. On n'est pas allé jusqu'au fond du débat mais je suis satisfait des différents échanges. Je continue de me creuser.

Cordialement.