Notion de seuil
Bonjour
Ci-dessous, je cherche à généraliser un raisonnement que j'ai sur les espaces métriques aux espaces topologiques. Pensez-vous que l'analogie est correcte ?
Ci-dessous, je cherche à généraliser un raisonnement que j'ai sur les espaces métriques aux espaces topologiques. Pensez-vous que l'analogie est correcte ?
- Dans le cadre des espaces métriques, on peut dire que plus la distance entre 2 points est faible, plus les points sont proches.
- Soit $(E,T)$ un espace topologique, $x$ un point de cet espace, $V_{1}$ et $V_{2}$ deux voisinages de $x$ tels que $V_{1} \subset V_{2}$. Dans une telle situation, on peux dire que les points de $V_{1}$ sont plus proches de $x$ que ceux de $V_{2}\setminus V_{1}$.
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Réponses
Oui, c'est l'idée de voisinage. Mais ça reste une image, et on n'utilise pas vraiment ce vocabulaire. Regarde ce qu'il te donne pour $\mathbb N$ et la tribu engendrée par l'ensemble des nombres pairs.
Cordialement.
Merci d'avoir consacré du temps à ma question. J'enchaîne sur ton exemple avec $\mathbb N$ en le développant jusqu'au bout.
En partant là, j'en déduis la topologie engendrée suivante $(\mathbb N, T=\{\emptyset, \mathbb N, Pair\})$. Puis, par exemple, les voisinages de $4$ sont $Pair$ et $\mathbb N$ avec $Pair \subset \mathbb N$. Suivant mon raisonnement, j'obtiens alors que les entiers dans $Pair$ sont plus proches de $4$ que les entiers dans $Impair=\mathbb N/Pair$. Sauf que, $3$ et $5$ sont "plus proches" de $4$ que n'importe quel entiers dans $Pair$. C'est bien dans ce sens là que je dois interpréter ta phrase ?
Je dirais que le choix des ouverts est une définition de la proximité, donc lorsque l'on parles de proximité de $3$ et $5$ par rapport à $4$, cette proximité n'est pas modélisé via la topologie $T$ défini plus haut. C'est la raison pour laquelle j'ai mis "plus proches" entre quotes. Qu'en pense-tu ?
EDIT: en fait, de toutes façon si j'ajoute $\{3,4,5\}$ aux ouverts, j'aurais toujours le problème. Je réfléchi encore mais je pense qu'on à fait le tour.
Cordialement.
En fait, les axiomes de la topologie ont été construits sur l'intuition de "proche" dans $\mathbb R$, ou en géométrie, mais se sont révélés utiles à des situations extrêmement complexes. Donc on peut se servir de l'intuition pour comprendre comment on définit les espaces topologiques à partir des ouverts, ou des fermés, ou des voisinages, ou des filtres, ou ... mais dès qu'on veut utiliser les outils de topologie générale, il faut soigneusement revenir aux définitions et théorèmes.
C'est déjà le cas dans les espaces métriques, car les distances sont très piégeuses. J'imagine que tu connais les boules de l'espace métrique $(\mathbb R, d)$ où d est la distance données par : $\forall (x,y)\in \mathbb R^2, d(x,y)= \delta(x,y)$ ($\delta(x,y)$ vaut 1 si x est différent de y, 0 si x=y).
Cordialement.
Et si je parlais de finesse, comme défini dans mon dernier message, plutôt que de proximité ? Si elle s'avère juste, cette idée me satisferait tout autant par rapport à la compréhension que j'essaye d'avoir.
Cordialement.
Quand j'arrive à trouver ce genre de rapport, j'ai le sentiment d'avoir mieux compris les objectifs d'une théorie (la topologie en l'occurence).
EDIT: Bien sûr, comme on l'a vu avec ton exemple, je peux me piéger. En général, je laisse l'expérience décider si mes mises en rapport antérieures sont vraies ou fausses. Une démarche scientifique en fin de compte !
Cordialement.
En revanche, on a des caractérisations équivalentes plus simples dans le cas des espaces métriques. Mais c'est simplement équivalent, ce n'est pas une autre propriété. Si tu vois un livre de topologie qui expose deux définitions différentes, alors le livre s'y prend plutôt mal selon moi. Une bonne approche est donc de définir les choses dans le cadre topologique et montrer ensuite comment ces propriétés se simplifient dans le cadre métrique.
Si tu as vu ce qu'est une base de voisinages, alors il est facile de voir que, dans un espace métrique, les boules B(x,r) sont une base de voisinage. C'est dans ce sens qu'il faut aller, pour retrouver dans la généralisation, ce que tu connaissais déjà. Comme la distance est perdue en topologie générale, il faut laisser tomber tout ce qui en dépendait (le "plus près de"), et même la possibilité de passer à la limite pour obtenir un seul point : Il n'y a pas de raison que des points distincts aient des voisinages différents. Par exemple pour {a,b,c,d} avec la topologie {$\emptyset$,{a,b},{c,d},{a,b,c,d}}.
En fait, en définissant la topologie générale, les mathématiciens ont cherché à généraliser tout ce qui ne dépendait pas de l'intuition de la proximité dans les réels. Quitte ensuite à rajouter les propriétés perdues (espaces séparés, par exemple, pour que les limites donnent un seul élément).
Quant à "plus fin", on le retrouve, mais pour les topologies.
Cordialement.
@sjkyffer3: Quand je dit que la façon de raisonner n'est pas la même en topologie et en métrique, c'est bien parce que dans les espaces métriques, ont a des simplifications qui modifient la forme des propositions et la façon de s'en servir (on a des raccourcis). Le sens, lui, n'a pas été modifié. Nos pensées se rejoignent sur ce point particulier ?
@gerard0: Mais au contraire, si j'ai une construction mentale qui traduit bien la notion de "plus près de" au niveau des espaces topologiques, ça m'embête d'abandonner cela. Sauf si tu me trouves de nouveau un contre-exemple qui brise mon analogie :-o. Mon objectif dans cette discussion est justement de tester sa robustesse ! Voici ce que ça donne au niveau de la continuité :
Soit $(E_{1},T_{1})$ et $(E_{2},T_{2})$ deux espaces topologiques, $x$ un point de $E_{1}$, $f: E_{1} \rightarrow E_{2}$.
Soit $V_{1}$, $V_{2}$, $V_{3}$ des voisinages de $f(x)$ tels que $V_{1} \subset V_{2} \subset V_{3}$. On à alors:
Autrement dit, moins il y a de points dans le voisinage de $f(x)$, moins il y a de points dans le voisinage de $x$. Ce qu'on peux résumer à: plus on "est près" de $x$, plus on "est près" de $f(x)$. De la mon idée de finesse d'un voisinage. On retrouve ainsi une idée de continuité proche de l'intuition. Comme tu le dit, dans la définition des espaces métriques, cette manière d'être "près" est justement liée à la distance et une base décroissante de voisinage alors que dans les espaces topologique, on ne précise rien, on dit simplement "$\forall V $" voisinage (on a généralisé tout ce qui a trait à la distance).
On est bien d'accord, concernant la limite: on "s'approche" de l'intersection de tous les voisinages d'un point, qui n'est pas forcément un point en topologie.
Cordialement.
Cordialement.