Ouvert de $\mathbb R^d$
Salut,
Je bloque pour montrer le point (ii), plus précisément, je n'arrive pas à montrer que si $O$ est un ouvert de $\mathbb R^d$, alors $O\subset\cup_{R\in\mathcal R, R\subset O} R$ (l'inclusion inverse est évidente).
Ce que j'ai essayé :
Soit $x=(x_1,\dots, x_d)\in O$. Comme $O$ est ouvert, il existe $\epsilon >0$ tel que la boule ouverte $B(x,\epsilon)\subset O$. Je sais que comme on est en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes mais je ne sais pas laquelle prendre pour aboutir facilement à mon résultat.
Je bloque pour montrer le point (ii), plus précisément, je n'arrive pas à montrer que si $O$ est un ouvert de $\mathbb R^d$, alors $O\subset\cup_{R\in\mathcal R, R\subset O} R$ (l'inclusion inverse est évidente).
Ce que j'ai essayé :
Soit $x=(x_1,\dots, x_d)\in O$. Comme $O$ est ouvert, il existe $\epsilon >0$ tel que la boule ouverte $B(x,\epsilon)\subset O$. Je sais que comme on est en dimension finie, toutes les normes sont équivalentes mais je ne sais pas laquelle prendre pour aboutir facilement à mon résultat.
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Réponses
Quel est le rayon de la sphère circonscrite à l'hypercube d'arête $a$ en dimension $d$ ?
Toutefois, je reste bloqué sur la première question.
Comme tu l'as remarqué, ton ouvert est ouvert pour toutes les normes, y compris la norme $\infty$ (max des $|x_i|$).
Chaque point de $O$ est donc le centre d'un hypercube (boule $\infty$) contenu dans $O$.
Un tel hypercube contient un hypercube à sommets rationnels comme ceux de $\mathscr{R}$.
Ainsi $O$ est inclus dans la réunion des éléments de $\mathscr{R}$ qui sont inclus dans $O$.