Espace métrique et homéomorphisme

Bonsoir · April 2018

Bonjour
Nous étudions actuellement les espaces métriques en cours et nous venons d'introduire les homéomorphismes. Est-ce que quelqu'un sait si :

Soient (X₁, d₁) et (X₂, d₂) des espaces métriques homéomorphes.
Si (X₁, d₁) est borné, en est-il de même pour (X₂, d₂) ?

Je pense que oui mais comment le montrer ? Faut-il utiliser une relation entre les deux distances ? Pourtant on ne sait rien d'elles...
Merci d'avance pour votre aide et bonne journée.

Chalk · April 2018

La réponse est non. Contre-exemple : $]-1,1[$ est homéomorphe à $\mathbb R$ pour les métriques usuelles. Vois-tu un homéomorphisme possible ?

Math Coss · April 2018

Ne saurais-tu pas exhiber un homéomorphisme entre $\left]-1,1\right[$ et $\R$, tous deux munis de la distance habituelle ?

Edit : grilled!

Bonsoir · April 2018

Bonsoir merci pour vos réponses. J'avais aussi pensé à trouver un homéomorphisme pour ]-1;1[. Les seules fonctions que je connaisse qui y ressemblent sont cos et sin mais sont définies sur [-1;1]. J'ai pensé à quelque chose comme

Fixons d>0, si petit que
f: R --> ]-1;1[,
f(x)={cos(x)-d si x=pi +Z×2pi;
{cos(x)+d si x=0 +Z×2pi;
{cos(x) sinon,
f soit continue.

Est-ce qu'un tel d existe ? Est-ce que f-1 est aussi continue ?

Merci d'avance

Chalk · April 2018

Ta fonction est loin d'être bijective, c'est mal barré pour un homéomorphisme.

Sans même trouver un exemple explicite, saurais-tu dessiner un tel homéomorphisme ? Vois-tu à quoi ça pourrait ressembler (il n'y a que deux types de dessins possibles en gros, dû à la spécificité de la droite réelle). Il n'y pas 50 (il y en a deux) façons de dessiner une bijection continue de $\mathbb R$ dans $]0,1[$.

Une telle bijection sera forcément un homéomorphisme mais ce n'est pas forcement trivial. Mais peu importe, une fois que t'as le dessin c'est facile de voir parmi les fonctions que tu connais une fonction qui ressemble au dessin, et de vérifier que ça marche.

Bonsoir · April 2018

Ok merci pour tes informations supplémentaires. Je crois que j'ai compris avec ton idée de graphe, les deux fonctions donnent très bien, par contre je ne sais pas à quelle fonction elles correspondent. J'ai cherché et j'ai trouvé que la fonction arctan ressemblait pas mal à une des deux. Par contre l'image d'arctan est -pi/2;pi/2 si je ne me trompe pas, donc c'est pas bon. Je dois essayer de bidouiller la fonction ou je suis encore totalement à côté de la plaque ?

Math Coss · April 2018

Non, c'est une très bonne idée. La fonction arc-tangente te donne un homéomorphisme de $\R$ dans $\left]-\pi/2,\pi/2\right[$ (pourquoi ?). Il te reste à trouver un homéomorphisme de $\left]-\pi/2,\pi/2\right[$ dans $\left]-1,1\right[$, ce qui semble assez facile.

Chalk · April 2018

Excellent ! (tu)

La fonction $\arctan$ correspond effectivement au dessin que tu as pu faire, l'autre dessin correspondant à $-\arctan$ par exemple. L'idée était qu'une telle bijection continue est monotone, donc strictement croissante ou décroissante.

$\arctan$ définit un homéomorphisme entre $\mathbb R$ et $]-\pi/2,\pi/2[$. Ne vois-tu vraiment pas comment modifier $\arctan$ pour la faire aller dans $]-1,1[$ ?

Bonsoir · April 2018

Par exemple :

x--> arctan(x)/(pi/2) ? (C'est de nouveau pas bijectif...?)

Chalk · April 2018

Pourquoi ça ne serait pas bijectif ? La bonne question serait même : pourquoi c'est effectivement bijectif ? (en précisant bien l'espace d'arrivée)

Ensuite il reste à vérifier la continuité, et la continuité de la réciproque. Pour ce dernier point, soit tu exhibes la réciproque, assez facile à trouver, soit tu utilises le théorème de la bijection réciproque.

Math Coss · April 2018

@bonsoir : Où as-tu perdu la bijectivité ? Peut-être qu'elle n'est qu'égarée et que tu peux la retrouver ?

@Skyffer : Merci, trop d'honneur !

Edit : Et pan ! 2-1 pour Skyffer.

Bonsoir · April 2018

Ah vous répondez trop vite!! Laissez-moi le temps de réféchir (:D

Chalk · April 2018

Oui mais je suis obligé, sinon je laisse Math Coss gagner :-D

Bonsoir · April 2018

Bon alors la fonction (en étudiant le graphe) m'a bien l'air bijective, et pour le montrer en fait comme pi/2 est un réel et arctan est bijectif (inverse de tan) alors ça suffit pour dire que arctan/(pi/2) est bijectif aussi ?

L'inverse c'est tan((pi/2)x) et on montre que si on compose les deux fonctions on a bien l'identité sur R ce qui suffit pour conclure que c'est continu.

Est-ce que c'est juste ou j'ai fait de la magie noire ? B-)-

Chalk · April 2018

Bonsoir a écrit:

alors ça suffit pour dire que arctan/(pi/2) est bijectif aussi ?

Si tu poses la question, c'est que tu n'es pas convaincu. Donc démontre le. D'ailleurs ton argument est faux. $0$ est réel aussi, mais $0.\arctan(x) / (\pi/2)$ n'est évidemment pas bijective. Il ne s'agit donc pas de jouer aux devinettes ;-)

Bonsoir a écrit:

L'inverse c'est tan((pi/2)x) et on montre que si on compose les deux fonctions on a bien l'identité sur R ce qui suffit pour conclure que c'est continu.

Non, aucun rapport avec la continuité. Tu joues encore aux devinettes ? B-)- En revanche avoir exhibé la réciproque (en composant dans les deux sens) ça suffit pour prouver que c'est bijectif. Par ailleurs c'est censé être du cours que de savoir que $\tan$ et $\arctan$ sont continues.

Bonsir a écrit:

Est-ce que c'est juste ou j'ai fait de la magie noire ?

En maths, même quand c'est juste, si on n'est pas capable d'en être certain soi-même c'est qu'on n'a pas donné tous les arguments et donc qu'on fait de la magie noire :-)

Bonsoir · April 2018

Tu as raison j'ai fouillé dans le cours et on a bien vu que tan et arctan sont continues. Donc j'applique arctan(x)/(pi/2) à la définition de la continuité utilisant la distance. Comme arctan vérifie cette définition alors arctan/(pi/2) la vérifie aussi (je n'écris pas les epsilon et delta mais je pense que tu vois de quelle définition je parle). Je fais de même pour tan((pi/2)x) ce qui montre la continuité.

Ensuite comme tu l'as dit je vérifie que les deux compositions donnent bien l'identité ce qui montre que c'est bijectif.

Finalement je peux conclure que c'est un homéomorphisme et donc un contre exemple!

Je ne te demande pas si c'est juste (sinon tu diras que c'est faux).

Néanmoins, je te laisse me dire si tu vois une erreur :-D

Merci encore pour ton aide.

Chalk · April 2018

Bonsoir a écrit:

Je ne te demande pas si c'est juste (sinon tu diras que c'est faux).

Je ne te dirais pas que c'est faux, je te dirais de le prouver si tu n'es pas convaincu ;-)

Mais oui c'est juste (tu)

En revanche nul besoin d'espilon et de delta, le produit de deux fonctions continues est continu, une fonction constante est continue, la composition de deux fonctions continues est continue, ça suffit plus que largement pour en déduire que ta fonction et sa réciproque sont continues.

Bonsoir · April 2018

skyffer3
J'étais sûr !! J'ai aussi vu cette propriété mais je ne savais pas comment l'utiliser.
Bonne nuit et merci pour tes réponses rapides !

[Inutile de reproduire le message précédent. AD]

Espace métrique et homéomorphisme

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