Continuité topologique d'une fonction

Salut

J'ai cette fonction: $f: (\mathbb{R},\sigma)\rightarrow (\mathbb{R},|\cdot|)$ définie par $f(x)=-x$
et il faut étudier la continuité de $f$ dans 3 cas :

1) $\sigma=~\{\emptyset,~ \mathbb{N},~\mathbb{Z},~\mathbb{Q},~\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q},~(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cup\mathbb{N},~ (\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})\cap\mathbb{Z}, ~ \mathbb{R}\}$

Dans ce cas, $f$ n'est pas continue car
Soit $x\in \mathbb{R},\ f(x)=-x$, soit $W$ un voisinage de $-x$, alors $W=\,]-x-r,-x+r[,\ r>0$
$$f^{-1}(]-x-r,-x+r[)=]x-r,x+r[\,\notin \mathbb{V}_{x}$$ car l'intervalle ne contient aucun des ouverts de $\sigma$.

2) $\sigma=\bigcup\limits_{a,b\in\mathbb{R},\ a<b}[a,b[$
Soit $x\in \mathbb{R},\ f(x)=-x$, soit $W$ un voisinage de $-x$, alors $W=\,]-x-r,-x+r[,\ r>0$ $$
f^{-1}(]-x-r,-x+r[)=\,]x-r,x+r[\,\in \mathbb{V}_{x}$$ car $x\in [x,x+r[\,\subset\, ]x-r,x+r[$

Mais j'ai un problème si j'utilise le résultat qui dit que que $f$ est continue ssi l'image inverse de tout ouvert est un ouvert $]-x-r,x+r[$ n'est pas dans $\sigma$ ?

Où est le problème ?
Merci