Composante connexe de $\Bbb{C}^*$

Goro98
Goro98
dans Topologie
Bonsoir

Juste pour dissiper le doute, les composantes connexes de $\Bbb{C}^*$ sont-elles $\{z\in \Bbb{C}, Re(z)>0\}$ et $\{z\in \Bbb{C}, Re(z)<0\}$ ?

Merci.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Qu'est-ce que $\mathbb C^*$, pour toi ?
  • Goro98
    Goro98
    $ \Bbb{C}^*= \Bbb{C}\setminus\{0\}$ l'ensemble des complexes privé du singleton $0$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Et tu penses que $\mathbb C\setminus \{0\}= \{z\in \Bbb{C}\mid \text{Re}(z)>0\}\cup \{z\in \Bbb{C}\mid \text{Re}(z)<0\}$ ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Que fais-tu de i ??

    Cordialement.
  • Goro98
    Goro98
    Ah oui il possède 4 composantes connexes.

    @GaBuZoMeu c'est faux, l'égalité que tu as écrite, je n'ai pas fait attention.
  • Dom
    Dom
    Connais-tu la notion de connexité par arcs ?
  • Goro98
    Goro98
    @Dom, Un espace topologique E est dit connexe par arcs si tout couple de points de E est relié par un chemin dont le support est inclus dans E.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Ah oui il possède 4 composantes connexes.
    Lesquelles ???
  • Goro98
    Goro98
    @GaBuZoMeu voici les 4 composantes connexes $\{z\in \Bbb{C}, Im(z)>0 , Re(z)>0\}$, $\{z\in \Bbb{C}, Im(z)<0 , Re(z)>0\}$ , $\{z\in \Bbb{C}, Im(z)>0 , Re(z)<0\}$ et $\{z\in \Bbb{C}, Im(z)<0 , Re(z)<0\}$.
  • gb
    gb
    En plantant une épingle dans une feuille de papier, on n'obtient généralement pas plusieurs morceaux…
  • Goro98
    Goro98
    $\Bbb{C}^*$ il est aussi connexe par arcs, donc connexe et possède 4 composantes connexes.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    C'est quoi une composante connexe, pour toi ? Tu as l'air de t'en faire une idée complètement fausse. Revois la définition.
    La composante connexe d'un point $x$ dans un espace topologique $X$, c'est la plus grande partie connexe de $X$ contenant $x$.
  • Goro98
    Goro98
    @GaBuZoMeu, donc j'ai perdu mon latin, donc $\Bbb{C}^*$ possède une seule composante connexe puisque il est connexe par arcs donc connexe.?
  • Dom
    Dom
    @gb (tu)
  • Math Coss
    Math Coss
    Les composantes connexes d'un espace topologique forment une partition :
    • aucune composante n'est vide ;
    • les composantes sont deux à deux disjointes : aucun point n'appartient à deux composantes ou plus ;
    • les composantes recouvrent l'espace : tout point appartient à au moins une composante.
    Les familles de parties que tu donnes pour $\C^*$ (en deux ou quatre morceaux) ne respectent pas la troisième condition.
  • incognito
    incognito
    @gerard0 : le i est purement imaginaire
  • gerard0
    gerard0
    Que faut-il comprendre ? Que i n'existe pas, n'est pas un élément de $\mathbb C^*$ ? Ou bien " le i est purement imaginaire "veut-il dire que i est un imaginaire pur, un complexe particulier ?
  • Goro98
    Goro98
    merci @Math Coss. Donc la composante connexe de $\Bbb{C}^*$ est $\Bbb{C}^*$ .
  • incognito
    incognito
    @gerard0 : c'était une boutade ! Mais c'est ce que pensent beaucoup d'étudiants de L1, hélas ... Question posée à 50 étudiants : quel est le module de $1+\sqrt 2$ ? Réponse : c'est $\sqrt 3$, à 90% !
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