Fonction inverse d'une fonction

Topotopo
Topotopo
dans Topologie
Bonsoir,

S'il vous plait comment faire pour trouver la fonction inverse de
$$
f(x)=
\begin{cases}
0,~\text{si}~ x<0\\
x^2+1~\text{si}~ x\geq 0
\end{cases}
$$

J'ai commencé par chercher $g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tel que $f(g(x))=x$ mais je n'ai pas su conclure

Merci

Réponses

  • Dom
    Dom
    Et bien, on va avoir du mal déjà sur les réels négatifs...

    Quelle est l'image réciproque de $\{0\}$ par $f$ ?
  • Topotopo
    Topotopo
    $]-\infty,0[$ ?
  • Dom
    Dom
    Et donc, peut-on envisager que $f$ admette un inverse (i.e.: qu'elle soit bijective ?)
  • Topotopo
    Topotopo
    C'est parce qu'elle n'a pas un unique antécédent.

    Mais comment faire pour montrer que $f:(\mathbb{R},\sigma)\to(\mathbb{R},|.|)$ est continue ?
    où $\sigma=\{\emptyset\}\cup\{\Omega\subset \mathbb{R}\mid \mathrm{card}(\mathbb{R}\setminus\Omega)<+\infty\}$

    Si $x<0$ alors $f(x)=0$ soit $W=\,]{-}\varepsilon,+\varepsilon[$ un voisinage de $f(x)=0$
    donc je dois voir ce que c'est $f^{-1}(]{-}\varepsilon,\varepsilon[)$ pour voir si c'est un voisinage de $x$ pour la topologie $\sigma$.
    Merci.
  • Dom
    Dom
    Ho ! Je crois que j'ai compris.

    Il y a certainement une confusion entre « fonction réciproque » (objet qui n'existe pas toujours car il faut et il suffit d'avoir une fonction bijective) et « image réciproque d'un ensemble par une fonction » (ensemble qui existe quel que soit la fonction et l'ensemble considéré).

    Ainsi : cherchons $f^{-1}(]-\varepsilon,\varepsilon[)$.

    C'est à dire, cherchons les $x$ réels, tels que $f(x) \in ]-\varepsilon,\varepsilon[ $.

    On a bien les $x$ dans $\mathbb R_-$ mais aussi, d'autres réels ?
  • Topotopo
    Topotopo
    Je n'ai pas su faire
  • gerard0
    gerard0
    Utilise la définition de $f^{-1}(A)$ où $A$ est une partie de l'ensemble d'arrivée. Tu peux commencer par représenter ,placer $A$ sur l'axe des images (l'axe des $y$) et regarder les antécédents.

    À toi de faire, ou bien attends la correction par ton prof.

    Cordialement.
  • Dom
    Dom
    Une dernière indication :

    Si $a$ est un nombre positif, résoudre l'équation d'inconnue $x$ ($x$ étant positif) : $x^2+1=a$
  • Topotopo
    Topotopo
    Il faut avoir $a>1$ !!
    $f^{-1}(]-\varepsilon,\varepsilon[)=\{y\in\mathbb{R}, f(y)\in ]-\varepsilon,\varepsilon[\}$
    Si $y<0$ alors $f(y)=0\in\,]-\varepsilon,\varepsilon[$
    Si $y\geq 0$ alors $f(y)=y^2+1<\varepsilon\Rightarrow y<\sqrt{\varepsilon-1}$ pour $\varepsilon>1$
    Je n'arrive pas a traduire ceci ?
    Merci de m'aider.
  • Dom
    Dom
    Ok.
    Tout cela me va.
    Et que se passe-t-il pour $\varepsilon < 1$. Prendre, $\dfrac{1}{2}$, par exemple s'il faut se fixer les idées.
  • Topotopo
    Topotopo
    Bonsoir, je reviens sur cette question

    Soit $x\in\mathbb{R}$ j'étudie deux cas
    1) Si $x<0$ dans ce cas $f(x)=0$ alors
    $$f^{-1}(]-\varepsilon,\varepsilon[)=\begin{cases} ]-\infty,0[,~\text{si}~ \varepsilon\leq1\\
    ]-\infty,\sqrt{\varepsilon-1}[,~\text{si}~\varepsilon>1.\end{cases}$$

    2) Si $x\geq0$ dans ce cas $f(x)=x^2+1$, je cherche donc $$f^{-1}(](x^1+1)-\varepsilon,(x^2+1)+\varepsilon[)=\{y\in \mathbb{R}, f(y)\in ](x^1+1)-\varepsilon,(x^2+1)+\varepsilon[$$
    Si $y<0$ alors $f(y)=0$, $f(y)\in](x^2+1)-\varepsilon,(x^2+1)+\varepsilon[$ si $\varepsilon> x^2+1$

    Si $y\geq 0$ alors $f(y)\in y^2+1$,

    je ne sais plus comment procéder pour trouver les conditions sous les quelles $f(y)\in ](x^1+1)-\varepsilon,(x^2+1)+\varepsilon[.$

    Merci
  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.

    L'image de ta fonction $f(\mathbb{R})$ c'est $\{0\}\cup ]1; +\infty[$. Vois ça dans une figure comme proposé.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour Topotopo.

    Un grave défaut à ce que tu écris : la fonction f ne dépend pas de la valeur d'une variable x ("Si $x<0$ ...."). Ce qui dépend de x, c'est éventuellement f(x), mais que peux-tu dire de f(t) si x<0 ??

    Si tu veux démontrer la continuité de f, il te faut trouver les $f^{-1}(O)$ où $O$ est un ouvert de $(\mathbb{R},|.|)$ et montrer que ce sont des ouverts de $(\mathbb{R},\sigma)$. Comme une réunion d'ouverts est un ouvert, et que les ouverts de $(\mathbb{R},|.|)$ sont des réunions d'ouverts de la forme $]a,b[$ pour $a<b$, il te suffit de trouver les $f^{-1}(]a,b[)$ et de tester si ce sont des ouverts de $(\mathbb{R},\sigma)$.
    Donc s'il y a une disjonction de cas à faire (*), c'est sur a et b.

    Cordialement.

    (*) et il y en a une, vue la définition de f.
  • Topotopo
    Topotopo
    Je n'ai pas compris les deux messages

    J'ai trouvé la solution dans un livre il dit que si $x\geq 0$, alors $f(x)=x^2+1$ pour tout $\varepsilon\leq x^2$ l'image réciproque $$ f^{-1}(]x^2+1-\varepsilon, x^2+1+\varepsilon[)=]\sqrt{x^2-\varepsilon},\sqrt{x^2+\varepsilon}[$$

    je n'arrive pas a faire ce raisonnement
  • gerard0
    gerard0
    Fais un dessin, la courbe de $f$, l'intervalle $]x^2+1-\varepsilon, x^2+1+\varepsilon[$ placé sur l'axe des $y$ et on "voit" directement $f^{-1}(]x^2+1-\varepsilon, x^2+1+\varepsilon[)$ sur l'axe des $x$.

    Pour une preuve par le calcul, remarquer que $f(x)>0$ implique que $x\ge0$ et donc que $f(x)=x^2+1\ge 1$, puis prends un $x\ge0$, choisis un $\varepsilon$ de façon que tout l'intervalle $]x^2+1-\varepsilon, x^2+1+\varepsilon[$ soit dans $\mathbb R^+$, puis en prenant $y\in\, ]x^2+1-\varepsilon, x^2+1+\varepsilon[$, cherche l'antécédent de $y$. (les calculs sont de niveau lycée).

    Bon travail !

    NB : On t'a déjà conseillé de tracer la courbe de $f$, si tu t'obstinais à ne pas le faire, tu renoncerais à comprendre.
  • Topotopo
    Topotopo
    Salut,

    J'ai trouvé :
    $$
    f^{-1}(](x^2+1)-\varepsilon,(x^2+1)+\varepsilon[)=\begin{cases} ]\sqrt{x^2+\varepsilon},\sqrt{x^2+\varepsilon}[, ~\varepsilon\leq x^2,\\ ]-\infty, \sqrt{x^2+\varepsilon}[, \varepsilon>x^2
    \end{cases}
    $$

    je pense que c'est la bonne solution.
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