Faisceau-ification
Bonjour ,
Je m'intéresse au procédé qui consiste à partir d'un faisceau $\mathcal{F}$ sur un espace $X$ (fixé), d'obtenir un espace étalé $p: F\to X$ à partir de ça, puis d'en déduire $\mathbf{a}(\mathcal{F}) := \Gamma(-, F)$ le faisceau des sections de $p$. Ce procédé est détaillé dans le poly que GBZM a, à plusieurs reprises, transmis sur le forum (ici par exemple).
Je note en particulier, pour $s\in \mathcal{F}(U)$, $s(U):= \{i_{U,x}(s), x\in U\}$ où $i_{U,x}: \mathcal{F}(U) \to \varinjlim_{V\ni x} \mathcal{F}(V)$ est l'injection canonique, sachant que cette limite est par définition la fibre en $x$ de $F$, aussi notée $F_x$ ($p^{-1}(x)$)
Alors on obtient facilement un morphisme $\eta^\mathcal{F}: \mathcal{F} \to \mathbf{a}(\mathcal{F}) = \Gamma(-, F)$ qui, en $U$, envoie $s\in \mathcal{F}(U)$ sur $(p_{\mid s(U)} )^{-1}$ (on voit assez facilement, si je ne me trompe pas, que $p$ est un homéomorphisme lorsque restreint à $s(U)$, d'image $U$ - c'est la preuve que $F$ est bien un espace étalé) - de plus $\eta^\mathcal{F}$ est naturelle en $\mathcal{F}$
Je voudrais prouver que cette transformation naturelle est universelle, au sens où toute transformation naturelle $\delta : \mathcal{F}\to \mathcal{G}$, $\mathcal{G}$ un faisceau, se factorise de manière unique par $\eta^\mathcal{F}$ (en fait le but est de prouver que cette construction est un adjoint à gauche de l'inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux: $\mathbf{a}\dashv Inc$).
J'ai déjà prouvé que lorsque $\mathcal{F}$ est un faisceau, $\eta^\mathcal{F}$ est bijective, donc étant donnée une telle $\delta$ je sais quelle tête le morphisme factorisant doit avoir (si je note $\mathbf{a}$ le foncteur qui à $\mathcal{F}$ associe $\Gamma(-,F)$ j'ai envie de prendre $(\eta^\mathcal{G})^{-1}\circ\mathbf{a}(\delta)$ ($(\eta^\mathcal{G})^{-1}$ étant bien définie par ce que j'ai dit juste au-dessus, car $\mathcal{G}$ est un faisceau); on obtient alors que $(\eta^\mathcal{G})^{-1}\circ\mathbf{a}(\delta)\circ \eta^\mathcal{F} = \delta$, simplement par naturalité de $\eta$.
Mais je ne sais pas prouver l'unicité: cela revient essentiellement à prouver $\eta^\mathcal{F}$ est un "épimorphisme pour les faisceaux", i.e. si $\\mu\circ \eta^\mathcal{F} = \mathbf{a}(\delta)\circ \eta^\mathcal{F}$ alors $\mu= \mathbf{a}(\delta)$.
C'est un passage qui n'est pas détaillé dans le poly de GBZM en question, qui dit simplement que ce foncteur est bien l'adjoint à gauche de l'inclusion, mais sans le justifier: est-ce évident, si oui, pourquoi ? Sinon, auriez-vous des idées ? Déjà, est-ce du abstract nonsense ou est-ce spécifique aux faisceaux ? (Par là j'entends: si j'ai une sous catégorie $j: \C\to \mathbf{D}$, un foncteur $b:\mathbf{D}\to \C$, une transformation naturelle $\eta: id_\mathbf{D} \implies j\circ b$ telle que $\eta\circ j : j \simeq j\circ b\circ j $, alors $b\dashv j$ ? Je n'ai pas l'impression que ce soit le cas..)
Je m'intéresse au procédé qui consiste à partir d'un faisceau $\mathcal{F}$ sur un espace $X$ (fixé), d'obtenir un espace étalé $p: F\to X$ à partir de ça, puis d'en déduire $\mathbf{a}(\mathcal{F}) := \Gamma(-, F)$ le faisceau des sections de $p$. Ce procédé est détaillé dans le poly que GBZM a, à plusieurs reprises, transmis sur le forum (ici par exemple).
Je note en particulier, pour $s\in \mathcal{F}(U)$, $s(U):= \{i_{U,x}(s), x\in U\}$ où $i_{U,x}: \mathcal{F}(U) \to \varinjlim_{V\ni x} \mathcal{F}(V)$ est l'injection canonique, sachant que cette limite est par définition la fibre en $x$ de $F$, aussi notée $F_x$ ($p^{-1}(x)$)
Alors on obtient facilement un morphisme $\eta^\mathcal{F}: \mathcal{F} \to \mathbf{a}(\mathcal{F}) = \Gamma(-, F)$ qui, en $U$, envoie $s\in \mathcal{F}(U)$ sur $(p_{\mid s(U)} )^{-1}$ (on voit assez facilement, si je ne me trompe pas, que $p$ est un homéomorphisme lorsque restreint à $s(U)$, d'image $U$ - c'est la preuve que $F$ est bien un espace étalé) - de plus $\eta^\mathcal{F}$ est naturelle en $\mathcal{F}$
Je voudrais prouver que cette transformation naturelle est universelle, au sens où toute transformation naturelle $\delta : \mathcal{F}\to \mathcal{G}$, $\mathcal{G}$ un faisceau, se factorise de manière unique par $\eta^\mathcal{F}$ (en fait le but est de prouver que cette construction est un adjoint à gauche de l'inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux: $\mathbf{a}\dashv Inc$).
J'ai déjà prouvé que lorsque $\mathcal{F}$ est un faisceau, $\eta^\mathcal{F}$ est bijective, donc étant donnée une telle $\delta$ je sais quelle tête le morphisme factorisant doit avoir (si je note $\mathbf{a}$ le foncteur qui à $\mathcal{F}$ associe $\Gamma(-,F)$ j'ai envie de prendre $(\eta^\mathcal{G})^{-1}\circ\mathbf{a}(\delta)$ ($(\eta^\mathcal{G})^{-1}$ étant bien définie par ce que j'ai dit juste au-dessus, car $\mathcal{G}$ est un faisceau); on obtient alors que $(\eta^\mathcal{G})^{-1}\circ\mathbf{a}(\delta)\circ \eta^\mathcal{F} = \delta$, simplement par naturalité de $\eta$.
Mais je ne sais pas prouver l'unicité: cela revient essentiellement à prouver $\eta^\mathcal{F}$ est un "épimorphisme pour les faisceaux", i.e. si $\\mu\circ \eta^\mathcal{F} = \mathbf{a}(\delta)\circ \eta^\mathcal{F}$ alors $\mu= \mathbf{a}(\delta)$.
C'est un passage qui n'est pas détaillé dans le poly de GBZM en question, qui dit simplement que ce foncteur est bien l'adjoint à gauche de l'inclusion, mais sans le justifier: est-ce évident, si oui, pourquoi ? Sinon, auriez-vous des idées ? Déjà, est-ce du abstract nonsense ou est-ce spécifique aux faisceaux ? (Par là j'entends: si j'ai une sous catégorie $j: \C\to \mathbf{D}$, un foncteur $b:\mathbf{D}\to \C$, une transformation naturelle $\eta: id_\mathbf{D} \implies j\circ b$ telle que $\eta\circ j : j \simeq j\circ b\circ j $, alors $b\dashv j$ ? Je n'ai pas l'impression que ce soit le cas..)
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Mais il faut encore vérifier que la propriété en question est vraie pour mes préfaisceaux, et finalement ça revient à faire des calculs
Pour l'égalité en question, si je prends $U$ un ouvert de $X$, et $s\in \mathbf{a}(\mathcal{F})(U)= \Gamma(U,F)$ alors $\mathbf{a}(\eta^\mathcal{F})_U(s) = et(\eta^\mathcal{F})\circ s$ où $et$ est le foncteur qui à un préfaisceau associe l'espace étalé associé. Sauf que dans mes constructions j'avais vu que c'était bien $et(\eta^\mathcal{F})$ qui réalisait un isomorphisme d'espace étalés entre $F$ et l'espace étalé associé à $\Gamma(-, F)$, et donc que $et(\eta^\mathcal{F})\circ s$ était précisément $(p_{\mid s(U)})^{-1}$, soit $\eta^{\mathbf{a}(\mathcal{F})}(s)$, d'où l'égalité pour chaque $s$, d'où sur $U$, pour tout $U$, d'où finalement l'égalité.
Mais ça n'est pas politiquement correct;
On pourrait lors penser à "afaiscement",
Mais, à la demande d'un utilisateur dont le pseudo est un calembour visqueux,
Évitons les jeux de mots vaseux;
Il reste bien "faisceallisation",
Mais c'est moche.
Encore une fois, une fois de plus,
C'est l'algèbre ovine - évoquée dans un fil qui a été, pour une raison que la raison ignore, fermé - qui donne la solution:
Partant d'un amas de laine fraîchement tondue, le mettre en faisceau, c'est le...
Défriser!
La traduction exacte du "sheafification functor" devrait donc être "foncteur défrisant".
On peut aussi parler simplement du faisceau associé à un préfaisceau et du foncteur "faisceau associé".