Faisceau-ification

Bonjour ,

Je m'intéresse au procédé qui consiste à partir d'un faisceau $\mathcal{F}$ sur un espace $X$ (fixé), d'obtenir un espace étalé $p: F\to X$ à partir de ça, puis d'en déduire $\mathbf{a}(\mathcal{F}) := \Gamma(-, F)$ le faisceau des sections de $p$. Ce procédé est détaillé dans le poly que GBZM a, à plusieurs reprises, transmis sur le forum (ici par exemple).

Je note en particulier, pour $s\in \mathcal{F}(U)$, $s(U):= \{i_{U,x}(s), x\in U\}$ où $i_{U,x}: \mathcal{F}(U) \to \varinjlim_{V\ni x} \mathcal{F}(V)$ est l'injection canonique, sachant que cette limite est par définition la fibre en $x$ de $F$, aussi notée $F_x$ ($p^{-1}(x)$)

Alors on obtient facilement un morphisme $\eta^\mathcal{F}: \mathcal{F} \to \mathbf{a}(\mathcal{F}) = \Gamma(-, F)$ qui, en $U$, envoie $s\in \mathcal{F}(U)$ sur $(p_{\mid s(U)} )^{-1}$ (on voit assez facilement, si je ne me trompe pas, que $p$ est un homéomorphisme lorsque restreint à $s(U)$, d'image $U$ - c'est la preuve que $F$ est bien un espace étalé) - de plus $\eta^\mathcal{F}$ est naturelle en $\mathcal{F}$

Je voudrais prouver que cette transformation naturelle est universelle, au sens où toute transformation naturelle $\delta : \mathcal{F}\to \mathcal{G}$, $\mathcal{G}$ un faisceau, se factorise de manière unique par $\eta^\mathcal{F}$ (en fait le but est de prouver que cette construction est un adjoint à gauche de l'inclusion des faisceaux dans les préfaisceaux: $\mathbf{a}\dashv Inc$).

J'ai déjà prouvé que lorsque $\mathcal{F}$ est un faisceau, $\eta^\mathcal{F}$ est bijective, donc étant donnée une telle $\delta$ je sais quelle tête le morphisme factorisant doit avoir (si je note $\mathbf{a}$ le foncteur qui à $\mathcal{F}$ associe $\Gamma(-,F)$ j'ai envie de prendre $(\eta^\mathcal{G})^{-1}\circ\mathbf{a}(\delta)$ ($(\eta^\mathcal{G})^{-1}$ étant bien définie par ce que j'ai dit juste au-dessus, car $\mathcal{G}$ est un faisceau); on obtient alors que $(\eta^\mathcal{G})^{-1}\circ\mathbf{a}(\delta)\circ \eta^\mathcal{F} = \delta$, simplement par naturalité de $\eta$.

Mais je ne sais pas prouver l'unicité: cela revient essentiellement à prouver $\eta^\mathcal{F}$ est un "épimorphisme pour les faisceaux", i.e. si $\\mu\circ \eta^\mathcal{F} = \mathbf{a}(\delta)\circ \eta^\mathcal{F}$ alors $\mu= \mathbf{a}(\delta)$.

C'est un passage qui n'est pas détaillé dans le poly de GBZM en question, qui dit simplement que ce foncteur est bien l'adjoint à gauche de l'inclusion, mais sans le justifier: est-ce évident, si oui, pourquoi ? Sinon, auriez-vous des idées ? Déjà, est-ce du abstract nonsense ou est-ce spécifique aux faisceaux ? (Par là j'entends: si j'ai une sous catégorie $j: \C\to \mathbf{D}$, un foncteur $b:\mathbf{D}\to \C$, une transformation naturelle $\eta: id_\mathbf{D} \implies j\circ b$ telle que $\eta\circ j : j \simeq j\circ b\circ j $, alors $b\dashv j$ ? Je n'ai pas l'impression que ce soit le cas..)