Un fermé contenu dans un ensemble

Goro98
Goro98
dans Topologie
Bonsoir.

On note par $A=\{ (a,m)\in \mathbb R\times\mathbb Z\mid a^2-m^2<0 \}~ \bigcup ~\{ (a,m)\in \mathbb R\times\mathbb Z\mid a^2-m^2=0 ,\ a.m\not=0\} $.

Soit $A^c$ son complémentaire dans $\R^2$, Je veux déterminer le plus grand fermé contenu dans $A^c$.

Merci.

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Le complémentaire de $A$ dans quoi ? $\mathbb R^2$ ? $\mathbb R\times \mathbb Z$ ?
    Il n'y a pas en général de plus grand fermé contenu dans une partie d'un espace topologique, puisque l'ensemble des fermés n'est pas stable par union quelconque.

    PS. En tout cas, il y a des fermés dans le complémentaires de $A$ dans $\mathbb R\times \mathbb Z$ (pour la topologie induite par la topologie standard de $\mathbb R^2$) contenant strictement $\mathbb R\times \{0\}$. As-tu fait un dessin ?
  • Goro98
    Goro98
    Je cherche le complémentaire dans $\R^2$, oui il y a des fermés contenant $\R \times \{0 \}$.
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Et il n'y a pas de plus grand fermé contenu dans le complémentaire. Comprends-tu cela ?
  • Goro98
    Goro98
    @GaBuZoMeu, J'ai compris ceci: si une partie fermée $F$ est incluse dans $A^c$ alors $F$ est le vide, non?
  • Goro98
    Goro98
    Mais $A^c$ contient $\{(a,m)\}$ avec $a^2-m^2>0$ donc absurde ce que je disais dans mon post
  • Goro98
    Goro98
    deja $\R\cut \{(a,m)\in\R\times\Z, a^2-m^2\}$ est fermé contenu dans $A^c$.
  • Goro98
    Goro98
    Comme notion topologique il n y a de telle notion, pour un ouvert oui.
  • michael
    michael
    Tu devrais corriger ce message. Hormis l'erreur de LaTeX ("cut" ?), il manque quelque chose dans cette écriture : $\{(a,m)\in\R\times\Z, a^2-m^2\}$ pour qu'elle ait un sens.

    Par ailleurs, peut-être que GaBuZoMeu devinera ce que tu veux dire mais, pour ma part, je ne comprends pas de quoi tu parles lorsque tu écris :
    Goro98 a écrit:
    comme notion toplogique il n y a de telle notion, pour un ouvert oui,
  • Goro98
    Goro98
    @michael, si j'ai compris son message il voulait me dire que : le plus grand ouvert contenu dans un ensemble est son intérieur, par contre comment on définit le plus grand fermé contenu dans un ensemble..
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    @Gor98 : après ton fil sur les composantes connexes de $\mathbb C^*$, celui-ci. Tout ça montre que tu aurais grand intérêt à revoir les base de la topologie.
    Commençons simple : à ton avis, y a-t-il un plus grand fermé dans $]0,1[$ ? Si tu m'en donnes un, je suis sûr de pouvoir en trouver un plus grand.
  • Goro98
    Goro98
    Pour la topologie induite c'est $]0,1[$. C'est pour la topologie de $\R$, on a$ [ \frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]$ est un fermé contenu dans $]0,1[$ donc il en est de même pour $\cup_{n\in\N^*} [ \frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]$ qui n'est pas fermé.
  • Math Coss
    Math Coss
    paraphrase de Goro98 a écrit:
    On a cette phrase n'est pas bien construite.
    (NB : « on a que cette phrase n'est pas bien construite » serait seulement hideux, plus vraiment incorrect.)
    Goro98 a écrit:
    $\left[\frac1n,1-\frac1n\right]$ est un fermé contenu dans $\left]0,1\right[$ donc il en est de même pour $\bigcup_{n\in\N^*}\left[\frac1n,1-\frac1n\right]$.
    Ici, « il en est de même » s'applique à la proposition entière, en particulier cela signifie que la réunion est un fermé : visiblement tu ne dis pas ce que tu veux dire.
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