Valeurs d'adhérence d'une suite dans $\R^2$
Bonsoir
La question est de trouver les valeurs d'adhérences de $(\frac1n,1)$ dans la topologie $\{\mathbb{R}^2,\emptyset, (B_r)_{r>0}\}$
où $B_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid (x-3)^2+y^2<r^2\}$
C'est-à-dire : pour quel $r>0$ on a $$\mathrm{card}\{n\in\mathbb{N}\mid (\tfrac1n,1)\in B_r\}=+\infty
$$ $(\frac1n,1)\in B_r\Rightarrow (3-\frac1n)^2<r^2-1$ for $r>1$ on a $|3-\frac1n|<\sqrt{r^2-1}$
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La question est de trouver les valeurs d'adhérences de $(\frac1n,1)$ dans la topologie $\{\mathbb{R}^2,\emptyset, (B_r)_{r>0}\}$
où $B_r=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid (x-3)^2+y^2<r^2\}$
C'est-à-dire : pour quel $r>0$ on a $$\mathrm{card}\{n\in\mathbb{N}\mid (\tfrac1n,1)\in B_r\}=+\infty
$$ $(\frac1n,1)\in B_r\Rightarrow (3-\frac1n)^2<r^2-1$ for $r>1$ on a $|3-\frac1n|<\sqrt{r^2-1}$
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Réponses
Le signe de \(3-\frac1n\) est connu.
donc $3-\frac1n<\sqrt{r^2-1}$ ceci donne que $\frac1n>3-\sqrt{r^2-1}$ mais cela ne donne rien !
Un ensemble infini d'entiers est non majoré.
\[\frac1n>3-\sqrt{r^2-1}\]
est-il majoré ou non majoré ? est-il fini ou infini ?
on qur $n< \frac{1}{3-\sqrt{r^2-1}}$ donc il est majoré mais je ne sais pas si c'est finie
Le raisonnement est-il valide lorsque \(3-\sqrt{r^2-1}\) est négatif ? ou nul ?
Si $r\geq \sqrt{10}$ alors $3-\sqrt{r^2-1}\geq 0$ donc $\frac1n>3-\sqrt{r^2-1}$ est toujours vérifié
Tu peux donc répondre à cette question, et en déduire les valeurs d'adhérence de la suite.