Ouverts et Compacts

Un contre exemple concret : la famille des ouverts $]1/n,1[$ pour $n$ entier $\geq 2$ recouvre l'intervalle $]0,1[$ (boule ouverte de centre $1/2$ et rayon $1/2$ dans $\mathbb R$.
Peux-tu extraire de ce recouvrement un sous-recouvrement fini ?

@skyffer3 : soit $O$ un ouvert de $\mathbb R^n$. $O$ peut être recouvert par une suite croissante d'ouverts strictements inclus dans $O$ (par exemple les $\{x \in O \mid d(x,\mathbb R^n \setminus O) > \frac{1}{k}\}$ avec $k \in \mathbb N^*$). Il est clair que cette suite n'admet pas de sous-recouvrement fini.

@skyffer3 : si la métrique choisie sur $\mathbb R^n$ est donnée par la norme $\Vert x\Vert=\max_i |x_i|$, alors ton affirmation est fausse. La validité de ton affirmation repose sur la géométrie des boules pour la norme euclidienne. Tout ce qui suit concerne cette norme.
Montrons que la boule unité ouverte n'est pas réunion d'une famille finie $(B(A_i,r_i))_{i=1,\ldots,p}$ de boules strictement incluses dans la boule unité ouverte. Soit $M$ sur la sphère unité tel que, pour tout $A_i$ différent de l'origine, la droite $(A_iM)$ ne passe pas par l'origine. Alors, pour tout $i=1,\ldots,p$, on a $\Vert M-A_i\Vert>r_i$. En choisissant $Q$ à l'intérieur de la boule unité suffisamment proche de $M$, on aura encore $\Vert Q-A_i\Vert>r_i$ pour tout $i=1,\ldots,p$ et donc $Q\not\in \bigcup_{i=1}^p B(A_i,r_i)$.

Edit : ça ne marche pas pour $n=1$ (dans ce cas on n'a pas en général de $M$ vérifiant la propriété demandée).

Après on peut dire (c'est moins démonstratif mais bon..) qu'un ouvert strict non vide de Rⁿ n'est pas fermé (Rⁿ est connexe), donc a fortiori pas compact...

c'est pas faux !

Le fait qu'il s'agit d'ouverts vient du fait que la fonction $x \mapsto d(x, \mathbb R^n \setminus O)$ est continue, et que $O$ est ouvert bien sûr. Le fait que cette famille recouvre $O$ vient juste du fait que n'importe quel point de $O$ est à distance $> 0$ du complémentaire de $O$, car ce dernier est fermé.

L'image réciproque d'un ouvert par une fonction continue est un ouvert.