Inégalité et Norme
Bonjour
Après quelques vaines manipulations algébriques...
Je n'arrive pas à démontrer que:
Pour tout $x,y$ et $z$ appartenant à un espace vectoriel normé tels que $x+y+z=0$
$||x-y||+||y-z||+||z-x||\ge\frac{3}{2} (||x||+||y||+||z||)$
Avec des inégalités triangulaire j'arrive juste à montrer que
$||x-y||+||y-z||+||z-x||\ge(||x||+||y||+||z||)$
Un coup de pouce m'aiderait bien
Merci d'avance
Après quelques vaines manipulations algébriques...
Je n'arrive pas à démontrer que:
Pour tout $x,y$ et $z$ appartenant à un espace vectoriel normé tels que $x+y+z=0$
$||x-y||+||y-z||+||z-x||\ge\frac{3}{2} (||x||+||y||+||z||)$
Avec des inégalités triangulaire j'arrive juste à montrer que
$||x-y||+||y-z||+||z-x||\ge(||x||+||y||+||z||)$
Un coup de pouce m'aiderait bien
Merci d'avance
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Réponses
La question a déjà été posée, mais je ne retrouve pas la réponse que j'avais donnée…
Toujours est-il que le centre de gravité du triangle de sommets \(x\), \(y\) et \(z\) est le point de concours des médianes, et qu'il situé aux deux tiers (\(2/3\), tiens donc !) de chacune d'elles à partir du sommet…
Quand tu utilises l’inégalité triangulaire, utilises-tu la relation $x+y+z=0$ ? Si non, tu peux éliminer une variable et essayer de démontrer la relation pour les deux variables restantes. Tu vois ?
Une méthode élégante consiste à écrire : $x=x-{1\over 3}(x+y+z)$, à utiliser la symétrie et l’inégalité triangulaire.
Je continue de creuser
Il s'agit essentiellement de la méthode suggérée par YvesM ^^
En effet: $x-y+x-z=2x-(y+z)$ et comme $x+y+z=0$, alors $x=-(y+z)$.
Donc: $x-y+x-z=2x+x \implies x-y+x-z=3x \implies||x-y||+||x-z||\ge3||x||\implies\displaystyle \frac{3}{2}\|x\| \leq \frac{1}{2}\left(\|x-y\| +\|x-z\|\right).$
Et par permutation circulaire de $x,y$ et $z$ on obtient deux autres inégalités du même acabit.
La sommation de ces inégalités permet de conclure... Je ne vois pas comment tu y arrives en partant de $x=x-{1\over 3}(x+y+z)$, Là c'est le noir total
Merci de m’éclairer sur vos idées .
Ps: l' essentiel est fait. Juste pour aller plus loin...
$x=x-1/3 (x+y+z)=2/3 x-1/3 y-1/3 z= 1/3 (x-y)+1/3 (x-z)$ puis inégalité triangulaire puis relations symétriques pour $y$ et $z$ puis sommation.
Il faut essayer de rédiger le moins possible en utilisant des flèches d'implication (ou des équivalences d'ailleurs), et présenter les calculs dans un environnement spécifique (en chaînant les inégalités par exemple). C'est bien plus lisible ainsi!
L'inégalité du triangle pour chacune des médianes fait le reste.
\begin{align*}\frac23\|y\|&\le \frac12\|y-z\|+\frac13\|x\|\\
\frac23\|z\|&\le \frac12\|z-x\|+\frac13\|y\|\end{align*}
En sommant :
\[\frac23\bigl(\|x\|+\|y\|+\|z\|\bigr)\le\frac12\bigl(\|x-y\|+\|y-z\|+\|z-x\|\bigr)+\frac13\bigl(\|x\|+\|y\|+\|z\|\bigr),\]ce qui permet de conclure.
Ps:du noir à la LUMIÈRE, guidé je suis