Inégalité et Norme
Bonjour
Après quelques vaines manipulations algébriques...
Je n'arrive pas à démontrer que:
Pour tout $x,y$ et $z$ appartenant à un espace vectoriel normé tels que $x+y+z=0$
$||x-y||+||y-z||+||z-x||\ge\frac{3}{2} (||x||+||y||+||z||)$
Avec des inégalités triangulaire j'arrive juste à montrer que
$||x-y||+||y-z||+||z-x||\ge(||x||+||y||+||z||)$
Un coup de pouce m'aiderait bien
Merci d'avance
Après quelques vaines manipulations algébriques...
Je n'arrive pas à démontrer que:
Pour tout $x,y$ et $z$ appartenant à un espace vectoriel normé tels que $x+y+z=0$
$||x-y||+||y-z||+||z-x||\ge\frac{3}{2} (||x||+||y||+||z||)$
Avec des inégalités triangulaire j'arrive juste à montrer que
$||x-y||+||y-z||+||z-x||\ge(||x||+||y||+||z||)$
Un coup de pouce m'aiderait bien
Merci d'avance
Réponses
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Bonjour,
La question a déjà été posée, mais je ne retrouve pas la réponse que j'avais donnée…
Toujours est-il que le centre de gravité du triangle de sommets \(x\), \(y\) et \(z\) est le point de concours des médianes, et qu'il situé aux deux tiers (\(2/3\), tiens donc !) de chacune d'elles à partir du sommet… -
Bonjour,
Quand tu utilises l’inégalité triangulaire, utilises-tu la relation $x+y+z=0$ ? Si non, tu peux éliminer une variable et essayer de démontrer la relation pour les deux variables restantes. Tu vois ? -
Il faut jongler avec les normes ! $\dfrac32\geq 1$
-
@babsgueye : donc si je montre que $1,2 \geq 1 \times 1$ j'ai réussi à montrer que $1,2 \geq \frac{3}{2}$ ?
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Bonjour,
Une méthode élégante consiste à écrire : $x=x-{1\over 3}(x+y+z)$, à utiliser la symétrie et l’inégalité triangulaire. -
Non je ne vois pas
-
Montre sous la condition $x+y+z=0$ que $\displaystyle \frac{3}{2}\|x\| \leq \frac{1}{2}\left(\|x-y\| +\|x-z\|\right).$
Il s'agit essentiellement de la méthode suggérée par YvesM ^^ -
Je vois.
En effet: $x-y+x-z=2x-(y+z)$ et comme $x+y+z=0$, alors $x=-(y+z)$.
Donc: $x-y+x-z=2x+x \implies x-y+x-z=3x \implies||x-y||+||x-z||\ge3||x||\implies\displaystyle \frac{3}{2}\|x\| \leq \frac{1}{2}\left(\|x-y\| +\|x-z\|\right).$
Et par permutation circulaire de $x,y$ et $z$ on obtient deux autres inégalités du même acabit.
La sommation de ces inégalités permet de conclure...YvesM a écrit:Bonjour,
Une méthode élégante consiste à écrire :
$x=x-{1\over 3}(x+y+z)$, à utiliser la symétrie et l’inégalité triangulaire.gb a écrit:Toujours est-il que le centre de gravité du
triangle de sommets \(x\), \(y\) et \(z\) est le point de concours des médianes, et qu'il situé
aux deux tiers (\(2/3\), tiens donc !) de chacune d'elles à partir du sommet…
Merci de m’éclairer sur vos idées .
Ps: l' essentiel est fait. Juste pour aller plus loin... -
Bonjour,
$x=x-1/3 (x+y+z)=2/3 x-1/3 y-1/3 z= 1/3 (x-y)+1/3 (x-z)$ puis inégalité triangulaire puis relations symétriques pour $y$ et $z$ puis sommation. -
Petite remarque... Mais bon, ça ne vaut pas grand chose, il s'agit juste d'une question d'esthétique!
Il faut essayer de rédiger le moins possible en utilisant des flèches d'implication (ou des équivalences d'ailleurs), et présenter les calculs dans un environnement spécifique (en chaînant les inégalités par exemple). C'est bien plus lisible ainsi! -
J'essaie une exégèse de gb. Le centre de gravité du triangle est $0=\frac13(x+y+z)$, il partage chaque médiane entre le tiers et les deux tiers. Choisissons un des six petits triangles, disons celui de sommets $0$, $x$ et $\frac12(x+y)$ : ses côtés ont pour longueurs $\frac23\|x\|$, $\bigl\|x-\frac12(x+y)\bigr\|=\frac12\|x-y\|$ et $\bigl\|\frac{x+y}2\bigr\|=\frac12\|z\|$. L'inégalité triangulaire donne\[\frac23\|x\|\le \frac12\|x-y\|+\frac13\|z\|.\]Par permutation circulaire, il vient
\begin{align*}\frac23\|y\|&\le \frac12\|y-z\|+\frac13\|x\|\\
\frac23\|z\|&\le \frac12\|z-x\|+\frac13\|y\|\end{align*}
En sommant :
\[\frac23\bigl(\|x\|+\|y\|+\|z\|\bigr)\le\frac12\bigl(\|x-y\|+\|y-z\|+\|z-x\|\bigr)+\frac13\bigl(\|x\|+\|y\|+\|z\|\bigr),\]ce qui permet de conclure. -
MERCI
Ps:du noir à la LUMIÈRE, guidé je suis
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Bonjour!
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