Action de groupe sur un espace topologique

az · May 2018

Bonjour
Je vous propose le pb problème suivant.

Si l'action d'un groupe discret sur un espace topologique est fidèle alors l'image de l'action est un ensemble discret dans Hom(X) muni de la topologie compacte-ouverte. Est-ce vrai ?
Et merci d’avance.

Maxtimax · May 2018

Non.
Prends $X$ un espace (localement compact pour que la topologie compact-ouverts ait un sens) tel que $Homeo(X)$ n'est pas discret (j'imagine qu'il en existe, j'avoue j'ai pas vérifié).

Soit $G= Homeo(X)$ muni de la topologie discrète.

Alors $G$ agit continûment sur $X$, est discret, et l'action est fidèle. Pourtant son image est $Homeo(X)$, qui n'est pas discrète.

Plus généralement il y a un contrexemple pour tout sous-groupe non discret de $Homeo(X)$...

az · May 2018

Merci beaucoup Maxtimax , je vais chercher un espace X tel que Homeo(X) ne soit pas discret dans ce cas le problème sera résolu. Merci encore une fois

az · May 2018

Salut tous le monde
Le problème que j'ai proposé est mal formulé. Ce que je propose c'est:
Si l'action d'un groupe discret sur un espace topologique est fidèle et si l'image de l'action est un ensemble discret dans Homeo(X) muni de la topologie compact-ouvert alors toutes les orbites sont discrètes.

Maxtimax · May 2018

C'est une question complètement différente.
Mais je pense que c'est faux aussi, la discrétude dans la topologie compacts-ouverts a l'air d'avoir très peu de rapport avec la discrétude des orbites. Imaginons une situation où les éléments de $G$ se comportent très bien sur une composante connexe de $X$, où on peut trouver des compacts et des ouverts les séparant, mais qu'à côté sur une autre composante connexe, ils fassent n'importe quoi. En blanc sur blanc, une formalisation de ce que j'ai dit si tu n'arrives pas à en trouver une :
Soit $G$ un groupe agissant fidèlement sur $X$ tel que son image dans $Homeo(X)$ soit discrète. Soit $A$ un autre espace topologique, sur lequel $G$ agit continument.

Alors $G$ agit naturellement sur $X\sqcup A$, l'action sur $X$ étant fidèle, elle est fidèle sur $X\sqcup A$ aussi. De plus si $g\in G$ par définition et par hypothèse sur l'action de $G$ sur $X$, il existe des compacts (un nombre fini) $K_i$ et des ouverts $V_i$ tels que $\{f\in G \mid \forall i, f(K_i)\subset V_i\} = \{g\}$.
Mais cet ouvert de base de la topologie compacts-ouverts en est un aussi pour $Homeo(X\sqcup A)$ car les $K_i$ sont des compacts de $X\sqcup A$ et les $V_i$ des ouverts de cet espace. Donc l'image de $G$ dans $Homeo(X\sqcup A)$ est discrète. Il suffit alors d'avoir choisi $A$ tel que les orbites dans $A$ ne soient pas toutes discrètes pour conclure.

Donc le résultat est faux (car il impliquerait "si $G$ est un groupe agissant sur un espace $X$ tel que l'image de $G$ dans $Homeo(X)$ est discrète, alors pour tout $G$-espace $A$ toutes les orbites sont discrètes", ce qui est clairement faux - je te laisse trouver des contrexemples)

az · May 2018

Bonjour
Dans l'ouvrage de William P. Thurston, Silvio Levy-Three-Dimensional Geometry and Topology, Vol. 1-Princeton University Press (1997) page 153 on trouve comme définition: The action is discrete if G ia a discret subset of the group of hommeomorphisms of X, with the compact-open topology.
d'autre part, dans autres ouvrages on trouve : si l'action est discrète alors son image est discret dans Homeo(X) muni de la topologie compact-ouvert et la réciproque est fausse.
La différence entre les deux c'est que William P. Thurston, Silvio Levy supposent que l'action est effective.
Alors la réciproque dont on parle devra etre vraie si on admet que l'action est effective ! autrement William P. Thurston, Silvio Levy se trompent.

az · May 2018

Bonjour
The action is discrete if G ia a discret subset of the group of hommeomorphisms of X, with the compact-open topology. Dans cette définition William P. Thurston, Silvio Levy le groupe G est vu comme un groupe d'homeomorphismes c'est en fait l'image de G par l' action.

Maxtimax · May 2018

Quel rapport entre ces définitions et la question que tu posais ?

az · May 2018

bonjour
La première question que j ai posé , j 'avoue qu'elle était mal formulée mais ce qui me pose problème c'est en fait certains auteurs définissent une action discrète si son image est discret dans Homeo(X) muni de la topologie compact-ouvert alors qu'autres disent qu'il n' y a qu'un sens c'est : Si l' action est discrète alors son image est discret dans Homeo(X).
Est ce que si on ajoute l'hypothèse ^^ l' action est fidèle ^^ la résiproque sera vraie ?
Merci

Maxtimax · May 2018

M'enfin... si c'est une définition il n'y a pas de "sens". Si les "autres auteurs" qui ne mettent qu'un sens définissent différemment la notion d'action discrète, il serait intéressant pour le fil de donner la définition en question pour qu'on puisse y répondre !

az · May 2018

Bonjour
Je remercie particulièrement M.Maxtimax pour l'intéret qu'il donne à ce problème. Je vais essayer de résumé la situation:
a) La plupart des auteurs déffinissent une action discrète d'un groupe sur un espace topologique X comme une action dont les orbites sont tous discrètes dans X.
On suite il proposent comme exercice:
Montrer que si l'action est discrète alors son image est discret dans Homeo(X) muni de la topologie compact-ouvert et que la réciproque est fausse.
b) Pour William P. Thurston une action est discrète si son image est discret dans Homeo(X) muni de la topologie compact-ouvert. Il s'intéresse notamment aux actions fidèles.
Ma Question: Sous quelle condition ( action fidèle par exemple ) la réciproque sera vraie ?
Merci beaucoup

Maxtimax · May 2018

Ah ! C'est beaucoup plus clair comme ça, et là on peut essayer de répondre !
Avant tout, résolvons l'exercice. J'ai donné un exemple qui prouve que la réciproque est fausse, donc ça c'est bon. Maintenant soit $G$ agissant sur $X$ d'orbites discrètes.
Pour la topologie compacts-ouverts, si $K$ est compact et $U$ ouvert, je note $F_{K,U}= \{f\in Homeo(X)\mid f(K)\subset U\}$. Par définition, les $F_{K,U}$ forment une prébase de la topologie en question.

Soit $g\in G$. Soit $x\in X$. Alors $g\cdot x$ est isolé dans l'orbite de $x$ donc il existe un ouvert $U$ contenant $g\cdot x$ ne rencontrant pas $G\cdot x$. Alors $F_{\{x\}, U}$ est un ouvert de $Homeo(X)$ ne rencontrant l'image de $G$ qu'en $g$, et $g$ est donc isolé dans ladite image.
L'image de $G$ est donc discrète.

Le problème de la réciproque est alors clair: les $F_{K,U}$ séparant les $g$ n'ont aucune raison de couvrir tous les $x$, i.e. on peut avoir un $x$ qui n'est dans aucun $K$ et alors son orbite est laissée sans plus d'informations. J'ai déjà montré qu'"action fidèle" ne suffisait pas car dans mon exemple l'action était bien fidèle.

La fidélité n'apporte rien à la question car si on note $\rho : G \to Homeo(X)$ l'application associée, elle se factorise par $G\to G/\mathrm{Ker}\rho\to Homeo(X)$, qui a la même image et les mêmes orbites: on peut donc supposer l'action fidèle.

Tu demandes alors des conditions intéressantes pour qu'une action d'image discrète ait des orbites discrètes. Je n'ai pas de réponse là pour le coup, j'essaierai d'y réfléchir.

Action de groupe sur un espace topologique

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 30