Tores isométriques
Bonjour, soit $\Lambda = \{\sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i} \mid a_{i} \in \mathbb{Z}\}$ un réseau, où $(e_{i})$ est une base de $\mathbb{R}^{n}$. Soit $\Lambda' = \{\sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i}' \mid a_{i} \in \mathbb{Z}\}$ un autre réseau. Soit $p, q$ entiers tels que $p + q = n$. Sur $\mathbb{R}^{n}$ je considère la métrique pseudo-Riemannienne définie par $g : u, v \mapsto \sum_{i = 1}^{p} -u_{i}v_{i} + \sum_{i = p+1}^{p+q} u_{i} v_{i}$.
De là je considère $\mathbb{R}^{n}/\Lambda $ muni de l'unique structure de variété pseudo-Riemannienne qui fasse de la projection $\pi : (\mathbb{R}^{n}, g) \to \mathbb{R}^{n}/\Lambda $ une isométrie $C^{\infty}$ (même un revêtement et un difféomorphisme local.). Je fais de même sur $\mathbb{R}^{n}/\Lambda'$ et note $\pi'$ la projection.
Je souhaite montrer que $\mathbb{R}^{n}/\Lambda'$ isométrique à $\mathbb{R}^{n}/\Lambda$ équivaut à l'existence d'un $\phi \in O(p, q)$ tel que $\phi(\Lambda) = \Lambda'$.
Le sens $\Leftarrow$ est clair. Je ne vois pas pour la réciproque.
Naïvement par théorème du relèvement si $\psi : \mathbb{R}^{n}/\Lambda \to \mathbb{R}^{n}/\Lambda'$ est une isométrie alors je me dis que l'on peut trouver $\phi$ tel que $\psi \circ \pi = \pi' \circ \phi \quad(1)$. Si $\psi$ envoyait $\pi(\Lambda)$ sur $\pi'(\Lambda')$ je pourrais au moins avoir la relation $\phi(\Lambda) = \Lambda'$. Mais je n'obtiens pas la linéarité de $\phi$ qui me permettrait par différentiation de $(1)$ de conclure que $\phi$ est une isométrie.
Qu'en pensez-vous je vous prie ?
De là je considère $\mathbb{R}^{n}/\Lambda $ muni de l'unique structure de variété pseudo-Riemannienne qui fasse de la projection $\pi : (\mathbb{R}^{n}, g) \to \mathbb{R}^{n}/\Lambda $ une isométrie $C^{\infty}$ (même un revêtement et un difféomorphisme local.). Je fais de même sur $\mathbb{R}^{n}/\Lambda'$ et note $\pi'$ la projection.
Je souhaite montrer que $\mathbb{R}^{n}/\Lambda'$ isométrique à $\mathbb{R}^{n}/\Lambda$ équivaut à l'existence d'un $\phi \in O(p, q)$ tel que $\phi(\Lambda) = \Lambda'$.
Le sens $\Leftarrow$ est clair. Je ne vois pas pour la réciproque.
Naïvement par théorème du relèvement si $\psi : \mathbb{R}^{n}/\Lambda \to \mathbb{R}^{n}/\Lambda'$ est une isométrie alors je me dis que l'on peut trouver $\phi$ tel que $\psi \circ \pi = \pi' \circ \phi \quad(1)$. Si $\psi$ envoyait $\pi(\Lambda)$ sur $\pi'(\Lambda')$ je pourrais au moins avoir la relation $\phi(\Lambda) = \Lambda'$. Mais je n'obtiens pas la linéarité de $\phi$ qui me permettrait par différentiation de $(1)$ de conclure que $\phi$ est une isométrie.
Qu'en pensez-vous je vous prie ?
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Réponses
Deux autres pistes : différencier $(1)$ pour obtenir quelque chose de linéaire mais je n'ai pas d'informations sur $\Lambda, \Lambda'$. Sinon construire un autre réseau avec $\psi \circ \pi(\{e_{i}\})$ mais rien ne me dit que c'est un réseau à l'arrivée.
Ensuite, comment on fait dans le cas riemannien ? Moi, ce que je ferais, c'est d'invoquer le théorème de Mazur-Ulam, qui impliquerait (je crois) que la $\phi$ dont tu n'as pas encore soigneusement justifié l'existence est linéaire. Mais là...
Et pour le $\phi$ j'ai oublié d'invoquer la simple connexité de $\mathbb{R}^{n}$, merci. Mazur Ulam marche avec la surjectivité de $\phi$ : alors $\pi' \circ \phi$ est surjective car $\psi \circ \pi$ l'est comme composée. De là si $x \in \mathbb{R}^{n}, \exists y \in \mathbb{R}^{n} | \pi'(x) = \pi'(\phi(y))$. Donc $x = \phi(y) + \sum_{i = 1}^{n} a_{i} e_{i}', a_{i} \in \mathbb{Z}$. Ouais c'est mal barré.
Ensuite, la $\phi$ dont on parle, si jamais on avait été en riemannien, ça aurait été une isométrie (pour les structures riemanniennes) et de là, peut-être (probablement !) une isométrie en tant qu'espace normé, et donc ça aurait été linéaire par Mazur-Ulam.
En fait, à moins de supposer que $\psi$ est un morphisme de groupes composé avec une translation, ça me paraît très difficile !