Groupe fondamental
dans Topologie
Bonsoir, je viens de découvrir la notion de groupe fondamental et j'ai déjà quelques interrogations, en fait je ne vois pas pourquoi le groupe fondamental n'est pas tout le temps abélien.
Quand par exemple on se place sur le tore, qu'on se place en un point x, et qu'on considère 2 lacets non homotopes l1 et l2 de base x, si l'on effectue l1 o l2 ou l2 o l1 on aura fait le même chemin vu que ce sont tous les deux des lacets, donc c'est un groupe abélien non ?
Ensuite je ne vois pas comment montrer que le groupe fondamental d'un produit d'espace est isomorphe au produit des groupes fondamentaux, j'ai essayé de construire un isomorphisme explicite mais ce n'est peut-être pas la meilleure solution ?
Merci
Quand par exemple on se place sur le tore, qu'on se place en un point x, et qu'on considère 2 lacets non homotopes l1 et l2 de base x, si l'on effectue l1 o l2 ou l2 o l1 on aura fait le même chemin vu que ce sont tous les deux des lacets, donc c'est un groupe abélien non ?
Ensuite je ne vois pas comment montrer que le groupe fondamental d'un produit d'espace est isomorphe au produit des groupes fondamentaux, j'ai essayé de construire un isomorphisme explicite mais ce n'est peut-être pas la meilleure solution ?
Merci
Réponses
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Bonjour,
Il se trouve que "par hasard", "le" groupe fondamental du tore est abélien, mais ce n'est pas pour la raison que tu dis.
L'égalité entre deux chemins est celle des fonctions: en tout temps, on est au même endroit; l'égalité dans le $\pi_1$ est le quotient de la précédente par la relation d'homotopie pointée.
Pour ta question sur les produits, tu peux expliciter l'isomorphisme effectivement.
Pour cela, il faut réfléchir à ce que c'est qu'un chemin (ou plus généralement une application continue) à valeurs dans un espace topologique produit $X \times Y$ et comprendre que c'est la donnée d'un chemin dans $X$ et un chemin dans $Y$. -
Prends deux cercles collés l'un à l'autre en un point (une forme de $\infty$) et imagine le lacet qui part de l'intersection, suit la boucle droite; suivi du chemin qui part de l'intersection et suit la boucle gauche.
Vois-tu une manière de déformer continument ce chemin en le chemin qui fait le même trajet mais en sens inverse ? -
Je pense avoir compris, quand on écrit l2 o l1 = l1 o l2 on ne parle pas de l'égalité au niveau du "trajet" effectué mais d'homotopie, et effectivement l'exemple qu'a donné Maxtimax montre clairement que l2 o l1 et l1 o l2 ne sont pas homotopes.
Je vais essayer de construire cet isomorphisme
Merci beaucoup ! -
Voilà, c'est ça !
Bonne chance !
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Bonjour!
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