Continuité fonction caractéristique

superpower · May 2018

Bonjour,
Dans $\mathbb R$ est-ce que les fonctions caractéristiques des compacts sont continues ?
On dirait que non mais peut-on calculer le volume de ces compacts ?
Merci d’avance.

Cyrano · May 2018

Elles ne sont pas continues sur $\R$.

Prends un compact $K$ et nomme $a$ la borne sup du compact sur $\R$. Puis regarde la limite à gauche et à droite de la fonction caractéristique de $K$ quand $x$ tend vers $a$.

Chalk · May 2018

C'est encore plus simple que cela selon moi. Une fonction continue vérifie le théorème des valeurs intermédiaires. Ca limite drastiquement le nombre de fonctions continues qui ne prennent que deux valeurs.

superpower · May 2018

D’accord merci, mais même si on ne peut pas en prendre l’intégrale de la fonction caractéristique peut on connaître le volume d’une telle partie compacte dans n’importe quel groupe compact muni de la mesure de [large]H[/large]aar ?

[Alfréd Haar (1885-1933) prend toujours une majuscule. AD]

Cyrano · May 2018

Attention, tu peux toujours calculer l'intégrale d'une fonction à support compact et continue SUR SON SUPPORT.

Il évident que la fonction caractéristique de $K$ est continue sur $K.$

superpower · May 2018

Aaah d’accord merci

Maxtimax · May 2018

Lebesgue a surtout développé, il y a un moment, une théorie qui permet de calculer des intégrales de fonctions discontinues (la classe des fonctions intégrables est bien plus grande que celle des fonctions continues; même d'ailleurs pour l'intégrale de Riemann, où la continuité par morceaux suffit -et encore, même pour Riemann c'est bien plus large que ça-)

Continuité fonction caractéristique

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