Égalité de tores

Poirot · May 2018

Bonjour, je dispose de deux tores $T_1$ et $T_2$, vus en tant que parties (et même sous-groupes) du tore standard $\mathbb T^{2n}$ dans $\mathbb C^{2n}$ (c'est-à-dire les $2n$-uplets de complexes de module $1$), tous deux de dimension $n$ et avec $T_1 \subset T_2$. J'ai toutes les raisons de penser que nécessairement $T_1=T_2$ (au sens ensembliste bien sûr !) mais je ne parviens pas à le prouver, de préférence de la manière la plus élémentaire possible. Avez-vous un argument pour prouver cela ?

Merci d'avance pour vos réponses.

Algèbre · May 2018

Salut, je ne comprends pas comment définis-tu $T_{1},\ T_{2}$, c'est juste des sous-groupes ?

Parce que $S_{1}$ s'identifie à $S_{1} \times \{1\}$ en tant que groupe donc est inclus dans le tore $S_{1}^{2}$ sans être égal à ce dernier.

Je croyais que tu voulais continuer ma conversation d'il y a une semaine:-).

mojojojo · May 2018

Au hasard : $T_1$ et $T_2$ sont deux fermés donc $T_1$ est fermé dans $T_2$. Maintenant, $T_1$ et $T_2$ sont aussi des variétés et comme ils ont la même dimension on a que $T_1$ est ouvert dans $T_2$, par connexité de $T_2$ on a bien $T_1=T_2$.

Bon, on peut sans doute montrer que $T_1$ est ouvert dans $T_2$ sans invoquer le fait qu'il s'agisse de variétés.

Poirot · May 2018

Je précise ma situation : je dispose du groupe $$\Gamma = \left\{\left(\rm{e}^{i \theta_1 y}, \rm{e}^{-i \theta_1 y}, \rm{e}^{i \theta_2 y}, \rm{e}^{-i \theta_2 y}, \dots, \rm{e}^{i \theta_n y}, \rm{e}^{-i \theta_n y}\right)\right\} \subset \mathbb T^{2n}$$ où les $\theta_i$ sont des réels linéairement indépendants sur $\mathbb Q$. Le théorème de Kronecker-Weyl me dit en particulier que $\overline{\Gamma}$ (l'adhérence dans $\mathbb T^{2n}$) est un tore de dimension $n$. J'aurais besoin de dire plus précisément que ce tore est $$\{(z_1, \overline{z_1}, \dots, z_n, \overline{z_n}) \mid z_1, \dots, z_n \in \mathbb S^1\}.$$

@Algèbre : Oui mais $\mathbb S_1^2$ et $\mathbb S_1 \times \{1\}$ n'ont pas la même dimension en tant que tore.

@mojojojo : ça me semble marcher, mais pour le coup je suis "déçu" par la démonstration, je pensais qu'il faudrait utiliser la structure de groupe de Lie au moins ! Et si tu vois comment faire encore plus simple je suis preneur ;-)

Lupulus · May 2018

Légèrement plus court que mojojojo : $T_1 \subset T_2$ sont fermés pour la topologie de Zariski réelle, irréductibles et de même dimension donc égaux.

mojojojo · May 2018

Désolé de t'avoir déçu poirot, mais comme je n'y connais rien en groupe ou algèbre de Lie une telle démonstration ne risquait pas de venir de moi :-D

Algèbre · May 2018

Ah oui tu as dit qu'ils étaient de même dimension.

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