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Partie bornée

PlayaPlaya
dans Topologie
Bonjour,

Soient $E$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel topologique, $\alpha \in ]0, 1[$ et $B_1$ et $B_2$ deux parties bornées (au sens d'un evt).

A-t-on toujours $\alpha B_1 + (1-\alpha) B_2$ bornée?
(J'arrive à le montrer si $E$ est localement convexe et j'ai un doute dans le cas général)

Merci d'avance.

PS : Sujet à mettre dans la rubrique Topologie (désolé)

Réponses

  • AlgèbreAlgèbre
    Salut, si $B_{1}, B_{2}$ sont deux parties bornées, soit $V$ voisinage de $0$. Soient $V_{1}, V_{2}$ deux voisinages de $0$ tels que $V_{1} + V_{2} \subset V$. C'est possible de les trouver par continuité de la somme.

    Soit $\lambda$ assez petit tel que $\lambda B_{1} \subset V_{1}, \lambda B_{2} \subset V_{2}$. Ainsi $\lambda (B_{1} + B_{2}) \subset \lambda B_{1} + \lambda B_{2} \subset V_{1} + V_{2} \subset V$.
  • PlayaPlaya
    @Algèbre : Merci infiniment.
    J'imagine que $V_1$ et $V_2$ sont pris équilibrées et que vous avez démontré $B_1 + B_2$ bornée car la bornitude est trivialement stable par le produit externe strictement positif.
  • AlgèbreAlgèbre
    Oui c'est cela. Pour l'équilibré, je ne l'ai pas dit mais l'ai pensé par continuité de l'homothétie.
  • PlayaPlaya
    @ Algèbre : Oui, en tout cas merci beaucoup et bonne soirée.
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