Intersection de compacts est compacte

Topotopo
Topotopo
dans Topologie
Salut

Je veux montrer que l'intersection quelconque de compacts dans un espace séparé est compacte en utilisant la définition (pas le fait que tout compact soit fermé)

Soit $(K_i)_{i\in I}$ une famille de compacts et $K=\bigcap_{i\in I} K_i$ , soit $(\Omega_i)_{i\in I}$ une famille d'ouverts tel que $K\subset \bigcup_{i\in I}\Omega_i$

Comment utiliser le fait que $K_i$ soit compact pour extraire un sous recouvrement fini de $(\Omega_i)$ ?
Merci.

Réponses

  • babsgueye
    babsgueye
    Salut.
    Et si tu utilisais $K_{i_{0}} = K\cup (K_{i_{0}}\setminus K)$, pour un $i_{0}\in I$..
  • Algèbre
    Algèbre
    Salut, note $X$ ton espace choisi un $j \in I$. Alors $K \subset K_{j} \subset \bigcup_{i \in I} \Omega_{i} \cup (X \setminus K)$ qui est une union d'ouverts. Je te laisse conclure.

    Je me suis servi du fait que les $K_{i}$ sont fermés quand même.
  • Algèbre
    Algèbre
    Grillé par Babsgueye.
  • Topotopo
    Topotopo
    Oui $K_{i_0}= (K_{i_0}\setminus K)\cup K$ je passe par l'intersection sur $i$ ?

    $\cap_{i\in I} K_i= \cap_{i\in I}(K_i\setminus K)\cup K$?

    Mais on ne sais pas si c'est un recouvrement d'ouvert ou pas ?
  • babsgueye
    babsgueye
    Mais $(K_{i_{0}}\setminus K)\subset K_{i_{0}}$ et ce dernier est compact....c'est ce qu'il faut utiliser.
  • topo29
    topo29
    Désolé je n'arrive pas à ouvrir mon compte de ce pc.

    Je n'ai pas compris. J'ai commencé par soit un recouvrement $(\Omega_i)_{i\in I}$ d'ouverts tel que $K\subset \bigcup_{i\in I} \Omega_i$ cela veut dire que $$
    K_{i_0}\cap X\setminus\bigcup_{i\in I}\Omega_i \subset K_{i_0}\cap X\setminus K\subset K_{i_0}
    $$ mais on ne peut pas utiliser la compacité de $K_{i_0}$ pour extraire un sous-recouvrement fini.
  • Algèbre
    Algèbre
    AVec mes notations $K \subset K_{j} \subset \bigcup_{i \in I} \Omega_{i} \cup (X - K)$, à droite un recouvrement ouvert. T'en extrait un recouvrement fini $\Omega_{i_{1}} \cup \Omega_{i_{2}} \cup ... \cup \Omega_{i_{n}} \cup (X - K)$. Comme $K \subset K_{j}$ tu conclus.
  • topo29
    topo29
    Oui mais comment retrouver vos notation ? je donne un recouvrement a K comment retrouver votre écriture ?

    Merci
  • Algèbre
    Algèbre
    Mes notations ont été définies à mon premier message.
  • jellali
    jellali
    Bonsoirs
    je dis que l'intersection quelconque de compacts Ki (qui sont fermés car l'espace est séparé) est incluse dans tout les Ki. Il s'ensuit qu'un fermé d'un compact est un compact. Et voilà.
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